چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
735 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط zahra
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

حجم حاصل از دوران یک دایره به شعاع a و مرکز (2a,0) حول محور yها را بدست آورید؟

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

معادله دایره برابر است با $(x-2a)^2+y^2=a^2$

circle

وقتی این دایره را حول محور y ها دوران دهیم شکلی مثل زیر حاصل می شود که به آن چنبره یا torus می گویند:

torus2

برای به دست آوردن حجم از روش واشر استفاده می کنیم: $$dV=\pi(R^2-r^2)dy$$

اما $(x-2a)^2=a^2-y^2$ بنابر این $x=2a\pm\sqrt{a^2-y^2}$ پس $R=2a+\sqrt{a^2-y^2}$ و $r=2a-\sqrt{a^2-y^2}$ با محاسبه ای ساده خواهیم داشت: $$dV=8a\pi\sqrt{a^2-y^2}dy$$

چون $y$ از $-a$ تا $a$ تغییر می کند داریم:

$$V=\int_{-a}^a8a\pi\sqrt{a^2-y^2}dy$$

پس کافی است انتگرال بالا را بیابید که آن هم با یک تغییر متغیر $y=a\sin t$ می توان پیدا کرد: $$\begin{align}\int_{-a}^a\sqrt{a^2-y^2}dy&=\int_{-\frac\pi2}^{\frac \pi 2}|a\cos t|(a\cos t)dt\\ &=a^2\int_{-\frac \pi2}^{\frac\pi 2}\cos^2t dt\\ &=a^2\int_{-\frac\pi 2}^{\frac \pi 2}\frac{1+\cos 2t}2dt\\ &=a^2(\frac 12t+\frac 14\sin 2t)|_{-\frac\pi 2}^{\frac \pi2}\\ &=a^2(\frac\pi2)\end{align}$$

بنابراین $$V=4a^3\pi^2$$

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AEbrahimiB

روش دیگر (و آسان تر) استفاده از قضیه پاپوس است.

قضیه اول پاپوس: اگر ناحیه مسطحی را حول خطی از صفحه که آن ناحیه را قطع نمی کند دوران دهیم، آنگاه اندازه حجم جسم دوار حاصل، برابر است با حاصلضرب مساحت آن ناحیه در مسافت پیموده شده توسط مرکز ثقل آن ناحیه.

در این مثال مساحت دایره $\pi a^2$ و مسافتی که مرکز دایره [مرکز ثقل دایره مرکز آن است] می پیماید برابر است با محیط دایره ای به شعاع $2a $ که می شود $4 \pi a $ . پس: $$V=(4 \pi a)(\pi a^2)=4 \pi^2 a^3$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
66 نفر آنلاین
0 عضو و 66 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4435
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4699475
...