چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
106 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط Under sky

سلام؛ اگر $x = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}$ باشد حاصل $x + \frac{1}{x}$ را چگونه میتوان بدست آورد؟

3 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط A Math L
ویرایش شده توسط saderi7
 
بهترین پاسخ
$ \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{16} + \sqrt{18} = ( \sqrt{2}+1) ( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} ) \Rightarrow $

$$x = \sqrt{2} +1$$

$$x+ \frac{1}{x} = \frac{( \sqrt{2} +1)^2+1}{ \sqrt{2} +1} = 2 \sqrt{2} $$
دارای دیدگاه توسط AEbrahimiB
ایده تجزیه عبارت چیه؟
دارای دیدگاه توسط A Math L
ایده خاصی نداشتم فقط حدس زدم بشه به صورت $x( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4})$
تجزیه کرد بعدشم با حدث و آزمایش تجزیه رو پیدا کردم.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

ابتدا تعریف میکنیم :

$$a:= \sqrt 2 \ \ \ \ \ \ b := \sqrt 3$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$B:=\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 = a+b + 2$$

و همچنین :

$$A:=(\sqrt 3 +\sqrt 6 + \sqrt 16 + \sqrt 18) = (b+ ab + 3a + 4) $$ $$A= (ab + 2a+2)+(a+b+2)$$

و اینکه میدانیم :

$$ a=\sqrt 2 \to a^2=2$$

جای گذاری میکنیم : $$A=(ba + 2a+a^2)+(a+b+2) = a(a+b+2) + (a+b+2) = (a+1)(a+b+2)$$

در نتیجه $x$ را بدست میآوریم :

$$x=\dfrac{A}{B}=a+1=\sqrt 2+1$$

و خواهیم داشت :

$$ \dfrac{1}{x}=\sqrt 2-1$$

حال خواسته سوال را بدست می آوریم :

$$x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt2$$
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

روش دیگر : $$x = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}$$

دو طرف را منهای یک میکنیم :

$$x -1= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}-1$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$x -1= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}-\dfrac{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4}{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4}$$ $$x-1=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt 2\sqrt 2+\sqrt 2\cdot2}{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4}=\sqrt 2$$

در پایان :

$$x=\sqrt 2+1 \to \dfrac{1}{x}=\sqrt2-1$$ $$x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt 2$$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
43 نفر آنلاین
0 عضو و 43 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 507
بازدید دیروز: 5661
بازدید کل: 4689974
...