به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
108 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط Under sky

سلام؛ اگر $x = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}$ باشد حاصل $x + \frac{1}{x}$ را چگونه میتوان بدست آورد؟

3 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط A Math L
ویرایش شده توسط saderi7
 
بهترین پاسخ
$ \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{16} + \sqrt{18} = ( \sqrt{2}+1) ( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} ) \Rightarrow $

$$x = \sqrt{2} +1$$

$$x+ \frac{1}{x} = \frac{( \sqrt{2} +1)^2+1}{ \sqrt{2} +1} = 2 \sqrt{2} $$
دارای دیدگاه توسط AEbrahimiB
ایده تجزیه عبارت چیه؟
دارای دیدگاه توسط A Math L
ایده خاصی نداشتم فقط حدس زدم بشه به صورت $x( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4})$
تجزیه کرد بعدشم با حدث و آزمایش تجزیه رو پیدا کردم.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

ابتدا تعریف میکنیم :

$$a:= \sqrt 2 \ \ \ \ \ \ b := \sqrt 3$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$B:=\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 = a+b + 2$$

و همچنین :

$$A:=(\sqrt 3 +\sqrt 6 + \sqrt 16 + \sqrt 18) = (b+ ab + 3a + 4) $$ $$A= (ab + 2a+2)+(a+b+2)$$

و اینکه میدانیم :

$$ a=\sqrt 2 \to a^2=2$$

جای گذاری میکنیم : $$A=(ba + 2a+a^2)+(a+b+2) = a(a+b+2) + (a+b+2) = (a+1)(a+b+2)$$

در نتیجه $x$ را بدست میآوریم :

$$x=\dfrac{A}{B}=a+1=\sqrt 2+1$$

و خواهیم داشت :

$$ \dfrac{1}{x}=\sqrt 2-1$$

حال خواسته سوال را بدست می آوریم :

$$x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt2$$
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

روش دیگر : $$x = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}$$

دو طرف را منهای یک میکنیم :

$$x -1= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}-1$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$x -1= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}-\dfrac{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4}{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4}$$ $$x-1=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt 2\sqrt 2+\sqrt 2\cdot2}{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4}=\sqrt 2$$

در پایان :

$$x=\sqrt 2+1 \to \dfrac{1}{x}=\sqrt2-1$$ $$x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt 2$$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
54 نفر آنلاین
0 عضو و 54 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2706
بازدید دیروز: 4918
بازدید کل: 4998281
...