به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
709 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط AEbrahimiB

سیمی که دارای چگالی خطی ثابت است به صورت نیمدایره ای همراه با قطرش در می آوریم. مرکز جرم آن را بیابید.

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

بدون کاستن از کلیت می‌توانید فرض کنید مرکز دایره‌ای که این نیم‌دایره از آن برداشته‌شده‌است مبدأ مختصات است و می‌توانید فرض کنید که نیم‌دایره‌تان نیم‌دایرهٔ بالایی است. زیرا در غیر اینصورت تنها یک انتقال و یک دوران نیاز دارید که نسبت به مرکز جرم خوش‌رفتار هستند یعنی اگر جسم‌تان را انتقال و دوران بدهید، آنگاه مرکز جرم آن نیز تحت همان انتقال و دوران به مرکز جرم جسم جدید منتقل می‌شود.

شعاع دایره را $r$ بگیرید. پس نیم‌دایرهٔ ما کمان شروع شده از نقطهٔ $(r,0)$ به نقطهٔ $(-r,0)$ و قطرمان پاره‌خط وصل‌کنندهٔ این دو نقطه است. توجه کنید که چون چگالی ثابت است مانند این است که هر نقطه سهم یکسانی در جرم دارد. چون پهنایی برای نقاط نیمذدایره و قطر در نظر نگرفته شده‌است پس این سهم برابر با حاصل‌تقسیم جرم بر محیط (درازای) شکل است. محیط شکل ما برابر با $\pi r+2r$ است. اکنون انتگرال وزن‌دار مرتبط با محاسبهٔ مرکز جرم به هر نقطه وزنِ $$\dfrac{\frac{m}{\pi r+2r}}{m}=\frac{1}{\pi r+2r}$$ را می‌دهد.

یافتن مرکز جرم مانند یافتن میانگین و امید است که تابع توزیع از سهم شرکت‌کننده در وزن بدست می‌آید. باید امید طول و عرض نقاط شکل را بیابیم.

نقاط روی پاره‌خط را به شکل $(x,0)$ که $x$ از $-r$ تا $r$ تغییر می‌کند پارامتری می‌کنیم و نقاط روی نیم‌دایره را به شکل $(x,\sqrt{r^2-x^2})$ که $x$ دوباره از $-r$ تا $r$ تغییر می‌کند پارامتری می‌کنیم.

$$\bar{x}=\frac{1}{\pi r+2r}(\int_{-r}^rxdx+\int_{-r}^rxdx)=0$$ $$\bar{y}=\frac{1}{\pi r+2r}(\int_{-r}^r0dx+\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx)=\dfrac{\frac{1}{2}\pi r^2}{\pi r+2r}=\frac{\pi}{2(\pi+2)}r$$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط سینا

میله همگنه پس مرکز جرم قبل از خم شدن روی خط های تقارن میله قرار داره و بعد از خم شدن مرکز جسم به صورت مجازی بیرون جسم قرار می گیره و چون ما در فیزیک نمی تونیم به یک نقطه خارج جسم نیرو وارد کنیم نقطه مرکز جسم را همون قبلی درنظر میگیریم با این تفاوت که در هر بار گزاری روی مرکز جرم همراه با یک گشتاور هستش به طور مثال اگر نیروی گرانش زمین بهش وارد شه در مرکز جرم می نویسیم mg + mg*d که d فاصله بین دو مرکز جرم مجازی و مرکز جرم قرداد هستش و در ضمن یادتون باشه نحوه قرار گیری خوده جسم و نحوه بارگزاری مهمه و گاهی اوقات ممکنه گشتاور به همین دلیل حذف بشه لازم به ذکر این هم هست که مرکز جرم مجازی رو باید همانند حساب کردن مرکز سطح نیم دایره حساب کرد که اینکار پارامتر y نقطه رو مشخص میکنه و دو پارامتر دیگه یعنی x و z روی محورهای تقارنش هستن

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
من که با خواندن متن شما چیزی دست‌گیرم نمی‌شود.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
39 نفر آنلاین
0 عضو و 39 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1583
بازدید دیروز: 5319
بازدید کل: 4855357
...