لطفا به کانال تلگرامی ما بپیوندید!

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید.

اثبات خواص تابع لگاریتم طبیعی

0 امتیاز
38 بازدید
سوال شده 15 دی 1395 در دانشگاه توسط amirabbas

با سلام . من یک سوالی داشتم در مورد اثبات خواص تابع لگاریتم طبیعی . توی بلاگ یه پستی نوشته شده بود اما به این موضوع اشاره ای نکرده بود. می دانیم لگاریتم طبیعی به عنوان انتگرال تابع $\frac{1}{x}$ تعریف می شود. سوالم اینه از کجا فهمیدن انتگرال این تابع لگاریتم در پایه e هست و به عبارت دیگه چرا $ln(e) = 1$ ؟ شاید یه کمی منظورمو بد رسونده باشم. منظورم اینه که ببینید یه زمانی برخوردن به تابع $\frac{1}{x}$ بعد یه تابعی تعریف کردن به عنوان انتگرال این. حالا چطوری فهمیدن مفهوم این تابعی که تعریف کردن لگاریتمه و در پایه عدد e ؟

دارای دیدگاه 16 دی 1395 توسط AEbrahimiB
ویرایش شده 16 دی 1395 توسط AEbrahimiB

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده 16 دی 1395 توسط fardina
انتخاب شده 16 دی 1395 توسط amirabbas
 
بهترین پاسخ

بستگی به این داره که لگاریتم رو چطوری تعریف کنید.

اگر لگاریتم رو به صورت معکوس تابع $f(x)=e^x$ تعریف کنید یعنی $g(x)=\ln x$ در اینصورت بنابر قضیه ی مشتق تابع معکوس داریم $g'(x)=\frac 1{f'(g(x))}=\frac 1{e^{\ln x}}=\frac 1x$ و لذا بنابر قضیه ی اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال خواهیم داشت:

$$\ln x-\ln 1=\int_1^x(\ln t)'dt=\int_1^x\frac 1tdt$$ اما می دانیم $\ln 1=0$ و لذا تعریف صورت انتگرالی آن واضح است.

اما اگر $\ln x=\int_1^x\frac 1tdt$ تعریف شده باشد در اینصورت $f(x)=\ln x$ مشتق پذیر است و داریم $$f'(x)=\frac 1x \tag{*}\label{*}$$

فرض کنیم که $g(x)$ معکوس $f$ باشد. در اینصورت $g$ مشتقپذیر است و داریم: $$g'(x)=\frac 1{f'(g(x))}\stackrel{\eqref{*}}{=}\frac 1{\frac 1{g(x)}}=g(x)$$ یعنی به معادله دیفرانسیل $g'(x)=g(x)$ با شرط اولیه $g(0)=1$ می رسیم(چون $f(1)=0$) می رسیم. اما می دانیم که تابع $e^x$ در این معادله صدق می کند لذا بنابر منحصر به فرد بودن باید $g(x)=e^x$ . یعنی $e^x$ معکوس $\ln x$ خواهد بود.(به عبارت دیگر $\ln x$ معکوس $e^x$ است)

پس به این ترتیب باید به جواب سوالتون رسیده باشید چون وقتی $f,g$ معکوس یکدیگرند پس $f\circ g(x)=x$ و $g\circ f(x)=x$ یعنی $e^{\ln x}=x$ و $\ln e^x=x$ .

دارای دیدگاه 16 دی 1395 توسط amirabbas
ممنون پاسخ خوبی بود. از اونجایی که دیدم بعد از تعریف ln میان تابع نمایی رو به عنوان معکوسش تعریف می کنن فکر می کردم این تابع موقع ابداع تابع لگاریتم وجود نداشته اما بر اساس تعریف دومی که گفتید حتما وجود داشته.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
ساعت :
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
48 نفر آنلاین
0 عضو و 48 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2348
بازدید دیروز: 4698
بازدید کل: 1673177
...