به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
87 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط A Math L

تمام توابع $f$ به طوری که به ازای هر $x \neq 0,1$ داشته باشیم :

$$f(x)+f( \frac{1}{1-x} )=x$$

2 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط A Math L
 
بهترین پاسخ

اگر در فرمول $$f(x)+f(\frac 1{1-x})=x\tag{*}\label{*}$$

قرار دهیم $x\to \frac 1{1-x}$ خواهیم داشت:

$$f(\frac 1{1-x})+f(\frac{x-1}x)=\frac 1{1-x}\tag{**}$$

همچنین اگر در $ \eqref{*} $قرار دهید $x\to \frac{x-1}x$ در اینصورت خواهیم داشت: $$f(\frac{x-1}x)+f(x)=\frac{x-1}x\tag{***}$$

داریم: $$(*)-(**)+(***)=2f(x)=x-\frac 1{1-x}+\frac{x-1}x$$

لذا $$f(x)=\frac 12(x-\frac 1{1-x}+\frac{x-1}x)$$

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

ابتدا تعریف میکنیم :

$$g(x)=\dfrac{1}{1-x}$$

حال همینطور که مشخص است داریم :

$$f(x)+f[g(x)]=x\\ f[g(x)]+f[g(g(x))]=g(x)\\ f[g(g(x))]+f[g(g(g(x)))]=g(g(x))$$

و همچنین داریم :

$$g(g(g(x)))=x$$

در نتیجه ما یک دستگاه سه معادله و سه مجهول داریم که مجهول ها را تعریف میکنم :

$$f(x) \ \ , \ \ f[g(x)] \ \ , \ \ f[g(g(x))]$$

در پایان خواهیم داشت :

$$2f(x)=x-\frac{1}{1-x}+\frac{x-1}{x}$$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
53 نفر آنلاین
1 عضو و 52 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 6506
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5012158
...