به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
35 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط A Math L

اگر $a \geq b>0$ ثابت کنید :

$$ \frac{(a-b)^2}{8a} \leq \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \leq \frac{(a-b)^2}{8b} $$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط A Math L
 
بهترین پاسخ

برای نامساوی سمت چپ با ظرب طرفین در $8a$(چون مثبت است جهت عوض نمی شود) خواهیم داشت:

$$(a-b)^2\leq 4a^2+4ab-8a\sqrt{ab}=(2a-2\sqrt{ab})^2$$

این برقرار است اگر و تنها اگر $|a-b|\leq |2a-2\sqrt{ab}|$ اما داخل قدر مطلق ها مثبت هستند(بنابرفرض مساله) لذا $a-b\leq 2a-2\sqrt{ab}$ و یا $a-2\sqrt{ab}+b\geq 0$ یعنی $(\sqrt a-\sqrt b)^2\geq 0$ که همواره برقرار است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
55 نفر آنلاین
1 عضو و 54 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 6498
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5012150
...