لطفا به کانال تلگرامی ما بپیوندید!

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید.

$f(f(n))=2n$

+1 امتیاز
42 بازدید
سوال شده 17 دی 1395 در دبیرستان توسط A Math L

آیا تابعی $f:\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ وجود دارد که :

$$f(f(n))=2n$$

دارای دیدگاه 17 دی 1395 توسط amirabbas
فکر نکنم بشه تابعی پیدا کرد. آدرس زیر رو ببینید:
http://math.stackexchange.com/questions/66093/how-to-find-the-function-f-given-ffx-2x
تابعی که این مشخصات رو داشته باشه بردش اعداد طبیعی نیست و نمیتونه در معادله بالا صدق کنه.

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده 21 دی 1395 توسط fardina

بنابر فرض مساله واضح است که $$f(f(f(n)))=2f(n)$$

و همچنین $$f(f(f(n)))=f(2n)$$

لذا $f(2n)=2f(n)$ و لذا با استقرا داریم $f(2^kn)=2^kf(n)$

که این فرمول نشان می دهد چنانچه ما تمام مقادیر $f$ را روی اعداد طبیعی فرد بدانیم آنگاه می توانیم مقادیر آن را با فرمول بالا برای مقادیر زوج هم پیدا کنیم.

به طور کلی اگر مجموعه اعداد فرد را به دو زیرمجموعه $A,B$ افراز کنیم و تابع $f$ را روی یکی از این زیر مجموعه ها با یک تناظر یک به یک به اعضای زیرمجموعه دیگر تعریف کنیم در اینصورت به تابعی می رسیم که درشرایط مساله صدق می کند. بنابراین نامتناهی تابع در شرایط مساله صدق می کند.

به عنوان مثال اگر اعداد فرد را به دو مجموعه ی اعداد فرد به صورت $4m-3$ و اعداد فرد $4m-1$ افراز کنیم در اینصورت تعریف میکنیم $$f(1)=3\\ f(5)=7\\ f(9)=11\\ \vdots \\ f(4m-3)=4m-1\\ \vdots $$ در اینصورت تابع $f$ روی اعداد فرد به صورت $4m-3$ تعریف شده است و همچنین روی اعداد فرد به صورت $4m-1$ داریم: $$f(4m-1)=f(f(4m-3))=2(4m-3)$$ و روی اعداد زوج هم که می توانیم به صورت $2^kn$ بنویسیم به صورت $f(2^kn)=2^kf(n)$ تعریف شده است.

منبع

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
ساعت :
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
21 نفر آنلاین
0 عضو و 21 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 907
بازدید دیروز: 3642
بازدید کل: 2423965
...