به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
51 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط A Math L

تابع $f:[0,1] \longrightarrow [0,1]$ به صورت زیر است :

$$ f(x) =\begin{cases}1- ( \sqrt{xk} + \sqrt{(1-x)(1-k)} )^2 & x > k\\0 & x \leq k\end{cases} $$

اگر $0<k<1$ ثابت کنبد $n$ ای وجود دارد که :

$$ \underbrace{{f(f(...(f(}}1))...) =0$$

$$ n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ . $$

دارای دیدگاه توسط Taha1381
ویرایش شده توسط Taha1381
اگه بررسی کنید می بینید که دنباله اکیدا نزولی است البته به جز حالتی که به صفر تبدیل شد پس حتما پس از مدتی صفر خواهد شد.

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Taha1381
انتخاب شده توسط A Math L
 
بهترین پاسخ

تا زمانی که $x>k$ دنباله اکیدا نزولی است چون $(\sqrt{xk}+\sqrt{(1-x)(1-k)})^2\ge 0 $ که عبارت حالت تساوی ندارد چون در ان صورت هر یک از رادیکال ها باید صفر باشند که امکان ندارد.پس:

$f(1)>f(f(1)>f(f(f(f),\dots>f^{n}(1)$

و $n$ عددی است که در ان $f^{n}(1)\le k$ بدیهی است که پس از انجام تعداد محدودی از ای تابع به $k$ می رسیم چون دنباله اکیدا نزولی است.و وقتی که به $k$ رسیدیم عبارت برابر صفر می شود.

و اگر در همان تابع اول $x \le k$ شد بدیهی است که عبارت در تابع دوم صفر می شود.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...