چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
44 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Taha1381

به چند طریق می توان راس های یک جدول $n*n$را با چهار رنگ مختلف رنگ امیزی کرد به طوری که در هر مربع واحد از هر رنگ دقیقا یک راس داشته باشیم؟

جواب:$24*(2^n-1)$

مرجع: انالیز ترکیبی(عباس ثروتی)-فصل ۱-سوال۸۶

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط A Math L
انتخاب شده توسط Taha1381
 
بهترین پاسخ

فرض مکنیم نام چهار رنگ $a,b,c,d$ باشند و $(x,y)$ نشان دهنده راسی با مختصات سطر $x$ و ستون $y$ پایین سمت چپ باشد .

برای راس $(1,1)$ چهار حالت ، برای راس $(1,2)$ سه حالت و برای راس $(2,1)$ دو حالت و رنگ راس $(2,2)$ به صورت یکتا مشخص میشود . که برابر 24 حالت می باشد . حال برای هر راس به صورت $(1,n)$ دو حالت وجود دارد و هر راس به صورت $(2,n)$ به صورت یکتا مشخص میشود .

اگر سطر اول رنگ ها به صورت یکی در میان بودند (مثلا $a,b,a,b ... a,b$) نتیجه میشود سطر دوم نیز رنگ ها به صورت یکی در میان اند $(c,d,c,d...c,d)$ ولی برای سطر های بعدی هر کدام 2 حالت وجود دارد (سطر های فرد یا $a,b...a,b$ یا $b,a...b,a$ و سطر های زوج یا $c,d...c,d$ یا $d,c...d,c$) که در این حالت تعداد برابر $24*2^{n-1}$

و اگر سطر دوم به صورت یکی در میان نبود مثلا مکانی وجود داشت که به صورت $a,b,c$ بود در بالای $b$ رنگ $d$ و در سمت راست $d$ رنگ $a$ و در سمت چپش رنگ $c$ قرار میگیرد و به همین صورت این سطر و سطر های بعدی به صورت یکتا مشخص میشوند . تعداد این حالات برابر است با $24*(2^{n-1}-1)$

$1$ حالت کم شده از $2^{n-1}$ همان حالت یکی در میان بودن سطر دوم میباشد .

$$24*2^{n-1}+24*(2^{n-1}-1)=24*(2^n-1)$$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
48 نفر آنلاین
0 عضو و 48 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1140
بازدید دیروز: 6233
بازدید کل: 3368618
...