به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
286 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط seyedmh
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

آیا می توان حجم یک کره را در دستگاه مختصات استوانه ای محاسبه کرد؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

متوجهِ «آیا» نمی‌شوم! دستگاه مختصات برای آدرس‌دهی نقاط به کار می‌رود و صد البته اگر دو دستگاهِ مختصات برای یک فضا داشته‌باشید هر کاری که در یکی بتوان انجام داد در دیگری نیز می‌توانید انجام بدهید.

همانگونه که برای مساحت و یا حجم در دستگاه‌های قطبی یا کروی ابتدا اِلمانِ مساحت و حجم را پیدا می‌کردید (حتی در دستگاه کارتزی نیز باید این کار را بکنید که چون پیش‌فرض آشنا هستید نیازی به انجام نمی‌داشتید) و سپس ناحیه را با بازه‌ها و تابع در دستگاه مختصات بیان و در آخر انتگرال می‌گرفتید. معمولا المان مساحت و حجم در کارتزی را برمی‌داشتید و با دترمینان ماتریس ژاکوبی و تبدیل مختصات المان مساحت و حجم را در دستگاه‌های دیگر محاسبه می‌کردید (این تنها راه ممکن نیست بلکه روشی است که برایتان ساده‌تر و سریع‌تر بود).

مختصات کارتزی در دستگاه استوانه‌ای به شکلِ $$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z$$ بیان می‌شوند پس دترمینان ماتریس ژآکوبی این تبدیل مختصات برابر می‌شود با: $$\det\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,z)}=\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}=r$$ اکنون ناحیهٔ یک کره در مختصات قطبی را باید بیان کنیم. شکل زیر را ببینید. enter image description here

$z$ها از $-R$ تا $R$ تغییر می‌کنند. سپس برای یک $z$ در این ناحیه، $\theta$ از $0$ تا $2\pi$ تغییر می‌کند. سپس برای یک $z$ و $\theta$، $r$ از $0$ تا $\sqrt{R^2-z^2}$ تغییر می‌کند. پس انتگرال سه‌گانهٔ حجم کره در این دستگاه برابر می‌شود با: $$\int_{-R}^R\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}rdrd\theta dz$$ که برابر با $\frac{4}{3}\pi R^3$ است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
56 نفر آنلاین
1 عضو و 55 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 6559
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5012211
...