چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
272 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط seyedmh
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

آیا می توان حجم یک کره را در دستگاه مختصات استوانه ای محاسبه کرد؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

متوجهِ «آیا» نمی‌شوم! دستگاه مختصات برای آدرس‌دهی نقاط به کار می‌رود و صد البته اگر دو دستگاهِ مختصات برای یک فضا داشته‌باشید هر کاری که در یکی بتوان انجام داد در دیگری نیز می‌توانید انجام بدهید.

همانگونه که برای مساحت و یا حجم در دستگاه‌های قطبی یا کروی ابتدا اِلمانِ مساحت و حجم را پیدا می‌کردید (حتی در دستگاه کارتزی نیز باید این کار را بکنید که چون پیش‌فرض آشنا هستید نیازی به انجام نمی‌داشتید) و سپس ناحیه را با بازه‌ها و تابع در دستگاه مختصات بیان و در آخر انتگرال می‌گرفتید. معمولا المان مساحت و حجم در کارتزی را برمی‌داشتید و با دترمینان ماتریس ژاکوبی و تبدیل مختصات المان مساحت و حجم را در دستگاه‌های دیگر محاسبه می‌کردید (این تنها راه ممکن نیست بلکه روشی است که برایتان ساده‌تر و سریع‌تر بود).

مختصات کارتزی در دستگاه استوانه‌ای به شکلِ $$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z$$ بیان می‌شوند پس دترمینان ماتریس ژآکوبی این تبدیل مختصات برابر می‌شود با: $$\det\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,z)}=\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}=r$$ اکنون ناحیهٔ یک کره در مختصات قطبی را باید بیان کنیم. شکل زیر را ببینید. enter image description here

$z$ها از $-R$ تا $R$ تغییر می‌کنند. سپس برای یک $z$ در این ناحیه، $\theta$ از $0$ تا $2\pi$ تغییر می‌کند. سپس برای یک $z$ و $\theta$، $r$ از $0$ تا $\sqrt{R^2-z^2}$ تغییر می‌کند. پس انتگرال سه‌گانهٔ حجم کره در این دستگاه برابر می‌شود با: $$\int_{-R}^R\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}rdrd\theta dz$$ که برابر با $\frac{4}{3}\pi R^3$ است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
81 نفر آنلاین
0 عضو و 81 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3602
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4705928
...