چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
327 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Hanieh
ویرایش شده توسط fardina

میشه توضیح بدید که چرا تابع مشخصه Q انتگرال پذیر لبگ است ولی انتگرالپذیر ریمان نیست .

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

انتگرال لبگ تابع مشخصه $\chi_A$ چنانچه $A$ اندازه پذیر باشد به صورت $\int \chi_A=m(A)$ تعریف می شود. یعنی $\chi_A$ انتگرال پذیر لبگ است اگر و تنها اگر $A$ اندازه پذیرباشد و چون $\mathbb Q$ اندازه پذیر است لذا $\chi_{\mathbb Q}$ انتگرال پذیر لبگ است و طبق تعریف داریم $\int\chi_{\mathbb Q}=m(\mathbb Q)=0$ .

اما می توان نشان داد که $\chi_{\mathbb Q}$ انتگرال پذیر ریمان نیست.

در واقع به عنوان مثال برای نشان دادن اینکه تابع $f:[0,1]\to \mathbb R$ که به صورت $$f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\cap [0,1]\\ 0&x\in\mathbb Q^c\cap [0,1]\end{cases}$$ تعریف می شود انتگرال پذیر ریمان نیست کافی است نشان دهید که انتگرال بالایی برابر $1$ و انتگرال پایینی برابر صفر است. در واقع برای هر افراز $P=(x_0,x_1,...,x_n)$ از $[0,1]$ داریم: $$U(p,f)=\sum_1^n\sup_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)(x_i-x_{i-1})=\sum_1^n 1(x_i-x_{i-1})=1$$ بنابراین انتگرال بالایی برابر $\inf U(p,f)=1$ است. و $$L(p,f)\sum_1^n\inf_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)(x_i-x_{i-1})=\sum_1^n 0(x_i-x_{i-1})=0$$ پس انتگرال پایین برابر $\sup L(p,f)=0$ است.

دارای دیدگاه توسط Hanieh
خیلی ممنون . اون قسمتی که لبگ هستو متوجه شدم اما میشه قسمتی که میگه ریمان نیست و یکم بیشتر توضیح بدین
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
48 نفر آنلاین
0 عضو و 48 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1136
بازدید دیروز: 6233
بازدید کل: 3368614
...