چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
95 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Hanieh
ویرایش شده توسط fardina

با یک مثال نشان دهید اگر شرط انتگرال پذیری را از قضیه فوبینی حذف کنیم در حکم تساوی رخ نمی دهد

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط Hanieh
 
بهترین پاسخ

می توانید نشان دهید $$\int_1^\infty \int_1^\infty |\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}|dxdy=\infty$$

در واقع

$$\begin{align}\int_1^\infty \int_1^\infty |\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}|dxdy&=\int_1^\infty(\int_1^y \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx+\int_y^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dx)dy\\ &=\int_1^\infty(\frac{x}{x^2+y^2}|_1^y+\frac{-x}{x^2+y^2}|_y^\infty)dy\\ &=\int_1^\infty(\frac{y}{2y^2}-\frac{1}{1+y^2}+0+\frac{y}{2y^2})dy\\ &=\int_1^\infty (\frac 1y-\frac{1}{1+y^2})dy\\ &=\int_1^\infty \frac 1ydy+\int_1^\infty \frac{1}{1+y^2}dy\\ &=\infty \end{align}$$ یعنی انتگرال پذیر نیست و $$\int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx=-\frac\pi4\\ \int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy=\frac\pi4$$ مثلا برای انتگرال اولی داریم:

$$\begin{align}\int_1^\infty \int_1^\infty \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx&=\int_1^\infty(\frac{y}{x^2+y^2}|_1^\infty)dx\\ &=\int_1^\infty(-\frac 1{1+x^2})dx\\ &=-\tan^{-1}x|_1^\infty\\ &=-\frac\pi2+\frac\pi4\\ &=-\frac \pi 4\end{align}$$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1084
بازدید دیروز: 6233
بازدید کل: 3368562
...