چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
81 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Hanieh
ویرایش شده توسط Hanieh

نشان دهید هر تابع پیوسته روی R تابع بالایی است

دارای دیدگاه توسط fardina
بالایی یعنی چی؟
دارای دیدگاه توسط Hanieh
باید توی سوال می نوشتم تابع بالایی.
اما تعریفش اینه که f تابع بالایی است هرگاه تابع پله ای مانندQ وجود داشته  باشد که Qمیل کند بهf (ت.ه) و حد انتگرال Q متناهی باشد
دارای دیدگاه توسط fardina
لطفا سوالتون رو ویرایش کنید.
و دامنه و برد تابع و سایر جزییات رو دقیق بنویسید.
دارای دیدگاه توسط Hanieh
سوال همینه جزییاتی نداره
ولی اگه کمکی میکنه دامنه رو [a,b] و برد رو R در نظر بگیرید
وتابع بالایی رو نسبت به اندازه لبگ بر [a,b]

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

متاسفانه سوال رو با جزییات توضیح ندادید. و تعریف تابع بالایی رو کامل و درست نگفتید. تابع $f:X\to \mathbb R$ را یک تابع بالایی گوییم هرگاه دنباله ای از توابع پله ای مانند $\phi_n$ موجود باشد که $\phi_n \uparrow f$ تقریبا همه جا و $\lim \int \phi_n< \infty$ .(کتاب Aliprantis رو ببینید)

سوال شما یکی از تمرینات کتاب هست که باید ذکر میکردید و در قسمت مرجع سوال اشاره میکردید.

چون $f:[a, b]\to \mathbb R$ پیوسته است و $[a, b]$ فشرده پس پیوسته یکنواخت است.(پس توجه کنید ذکر این مطلب که دامنه بازه بسته $[a, b]$ است خیلی کمک می کند)

بنابر تعریف پیوستگی یکنواخت $$\forall \epsilon>0\exists \delta(\epsilon)>0: |x-y|< \delta(\epsilon)\implies |f(x)-f(y)|< \epsilon\tag{*}\label{*}$$ پس برای هر $n\in\mathbb N$ با قرار دادن $\epsilon=\frac 1n>0$ یک $\delta_n>0$ موجود است که اگر $|x-y|< \delta_n$ آنگاه $|f(x)-f(y)|< \frac 1n$ .

حال بازه ی $[a, b]$ را به زیر بازه های $I_1, I_2,..., I_m$ به گونه ای تقسیم کنید که طول هر بازه کمتر از $\delta_n$ باشد. یعنی برای هر $x,y\in I_k$ داشته باشیم $|x-y|< \delta_n$ . در واقع انگار افراز $P=(x_0=a,x_1,...,x_n=b)$ را از بازه ی $[a, b]$ در نظر میگیریم که داشته باشیم $|x_i-x_{i-1}|< \delta_n$

حال تابع $\phi_n$ را به صورت زیر تعریف کنید: $$\phi_n(x)=\begin{cases}\min_{x\in I_k}f(x)&x\in I_k\\ 0&x\notin [a, b]\end{cases}$$ توجه کنید که چون $f$ پیوسته است و بازه های $I_k=[x_{k-1}, x_k]$ فشرده هستند پس مینیمم وجود دارد.

حال چنانچه $x\in [a, b]$ در اینصورت به ازای $k$ی داریم $x\in I_k$ لذا $$|\phi_n(x)-f(x)|=|\min_{x\in I_k}f(x)-f(x)|\stackrel{\eqref{*}}< \epsilon$$

یعنی $\phi_n$ به طور یکنواخت به $f$ همگراست و به علاوه بنابر نحوه ساخت که به صورت مینیمم تعریف کردیم لذا $\phi_n\leq f$

از طرفی چون $f$ پیوسته است و $[a, b]$ فشرده پس بیشترین مقدار خود را اختیار می کند لذا کراندار است یعنی $|f(x)|\leq M\in \mathbb R^+$ بنابر این $\int\phi_n\leq M(b-a)$ لذا $\lim\int \phi_n< \infty$

بنابراین $f$ تابع بالایی است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3632
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687440
...