به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
91 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط malihe
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ x_{k} $ یک دنباله نزولی از اعداد مثبت باشد نشان دهید که اگر$ \sum_1^ \infty x_{k} $ همگرا باشد آنگاه $ \lim_{k \rightarrow \infty } x_{k} .k=0 $

مرجع: کتاب آنالیز حقیقی بارتل و شربرت
دارای دیدگاه توسط fardina
خوب راهنمای تایپ ریاضی رو بخونید سوالتون رو ویرایش کنید ببینیم چی نوشتید!
دارای دیدگاه توسط malihe
برای راهنمای تایپ باید کجا برویم؟؟
دارای دیدگاه توسط admin
به محفل ریاضی خوش آمدید.
همینجا سمت چپ میبینید نوشته راهنمای تایپ؟
موقع پرسش سوال هم باید دیده باشید.
http://math.irancircle.com/index.php?qa=tag&qa_1=راهنمای-تایپ
دارای دیدگاه توسط admin
@malihe شما دو مطلب را به عنوان هرزنامه نشانه گذاری کردید.
وقتی شما این نشانه گذاری را انجام میدید به همه مدیران سایت اطلاع داده می شود که مطلب بدی در سایت منتشر شده. ولی هیچ کدام از مطالبی که شما نشانه گذاری کردید هرزنامه محسوب نمی شدند. و فقط وقت چند تا از مدیر ها تلف شد. لطفا به درستی از این گزینه استفاده کنید.
دارای دیدگاه توسط malihe
ببخشید من اطلاعی از این موضوع نداشتم و ناخواسته اون علامت ها را تیک زده بودم به خاطر این کارم عذرخواهی میکنم

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
انتخاب شده توسط malihe
 
بهترین پاسخ

استفاده از تراکم کوشی. چون سری همگراست پس سری $ \sum_1^ \infty 2^{k} x_{ 2^{k}} $ همگراست بنابراین $ \lim_{k \rightarrow \infty } 2^{k} x_{ 2^{k}}=0 $ با توجه به نزولی بودن دنباله برای $ 2^{k} \leq n \leq 2^{k+1} $ داریم $ 2^{k} x_{ 2^{k+1}} \leq n x_{n} \leq 2^{k+1}x_{ 2^{k}} $ بنابراین $ \lim_{k \rightarrow \infty } k x_{k} =0$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

این یک قضیه مشهور به نام قضیه پرینگسهایم(pringsheim) می باشد. گیریم $ x_{k}= a_{n} $ و $k=n$ باشد. فرض کنیم $ S_{n} = a_{1} + a_{2} +...+ a_{n} $ با توجه به فرض وجود داردAبه طوری که $ \sum_1^ \infty a_{n} =A $ بنابراین $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty }S_{2n} =A$ پس $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{2n} - S_{n} =0$. حال توجه می کنیم که $ S_{2n} - S_{n} = a_{n+1} + a_{n+2} +...+ a_{2n} \geq a_{2n} + a_{2n} +...+ a_{2n} $ بنابراین $0 \leq n a_{2n} \leq S_{2n} - S_{n}$ پس $ \lim_{n \rightarrow \infty } n a_{2n}=0$ حال دقت میکنیم که $ a_{2n+1} \leq a_{2n} \Rightarrow 0 \leq (2n+1) a_{2n+1} \leq( \frac{2n+1}{2n} )(2n a_{2n} ) $ پس $ \lim_{n\rightarrow \infty } (2n+1)a_{2n+1}=0$ پس ثابت کردیم که


1- $ \lim_{n \rightarrow \infty } 2n a_{2n}=0$ 2- $ \lim_{n\rightarrow \infty } (2n+1)a_{2n+1}=0$ بنابراین $ \lim_{n \rightarrow \infty } n a_{n}=0$

اثباتی که ارائه شد به نظرم ساده ترین اثبات موجوده. این اثبات از کتاب آنالیز ریاضی گلدبرگ نوشته شد. البته اثباتهای دیگه ای هم وجود داره.

دارای دیدگاه توسط kazomano
اثبات دیگه ای هم در کتاب آنالیز ریاضی مصاحب وجود داره که جالبه.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
55 نفر آنلاین
1 عضو و 54 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 6547
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5012199
...