چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
244 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط malihe
ویرایش شده توسط fardina

حد مقابل را اثبات کنید وقتی که n به سمت بی نهایت میل کند $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n} } }=e\ $$

دارای دیدگاه توسط AEbrahimiB
لطفا برای تایپ سوالتان راهنمای تایپ ریاضی را مطالعه کنید
دارای دیدگاه توسط kazomano
چندان دشوار نیست. یه نامساوی چهارتایی معروف بیت لیمیت سوپ و اینف جذر nام هست که باید از اون استفاده کنی.وقت کردم جوابو می نویسم. راه دیگه قضیه استولز.

3 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط malihe
 
بهترین پاسخ

می توانید از فرمول تقریب استرلینگ استفاده کنید: $$(n!)^{\frac 1n}\sim \frac ne(2\pi n)^\frac{1}{2n}$$

به عبارت دیگر $$\frac{n}{(n!)^{\frac 1n}}\sim \frac{e}{(2\pi n)^{\frac 1{2n}}}$$

حال چنانچه از اینکه $\lim_{n\to \infty}n^{\frac 1n}=1$ و $\lim_{n\to \infty}(a)^{\frac 1n}=1$ ($a>0$) استفاده کنیم داریم $\lim_{n\to \infty}\frac{n}{(n!)^{\frac 1n}}=e$

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AEbrahimiB
ویرایش شده توسط AEbrahimiB

ابتدا فاکتوریل را به تابع گاما تبدیل کنید. سپس از هوپیتال و بسط تابع دایگاما استفاده کنید.

دارای دیدگاه توسط AEbrahimiB
توضیحات بالا، هم ارزی دو تابع زیر را در $x \to \infty $ اثبات می کند که در این مورد و موارد مشابه به سادگی می توان استفاده کرد.
$$\frac d {dx} \ln x! \cong \ln x $$
+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط saderi7

می دانیم برای هر دنباله $ \lbrace a_{n} \rbrace $ با جملات مثبت همواره داریم:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \inf \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \leq \lim_{n \rightarrow \infty } \inf \sqrt[n]{ a_{n} } \leq \lim_{n\rightarrow \infty } \sup \sqrt[n]{ a_{n} } \leq \lim_{n \rightarrow \infty } \sup \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } $$


قرار می دهیم $ a_{n} = \frac{ n^{n} }{n!} $ به راحتی داریم $ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n}}=e $

بنابراین:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{ \sqrt[n]{n!} } =e$$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
61 نفر آنلاین
0 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4481
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4699521
...