چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
158 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط erfanm

گیریم n یک عدد طبیعی و

$$ f_{n} (x)= x^{ x^{ ...^{x} } } $$

مطلوب است محاسبه حد زیر

$$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ f_{n} (x)- f_{n-1} (x)}{ (1-x)^{n} } $$
دارای دیدگاه توسط AEbrahimiB
منظور از اندیس n چیه؟
دارای دیدگاه توسط kazomano
تعداد ایکس ها.
دارای دیدگاه توسط AEbrahimiB
مطمئنید که حد وجود داره؟ چون به ازای n=2 جواب حد 1 و به ازای n=3 جواب حد 1- میشه
دارای دیدگاه توسط kazomano
خب این که گفتین چه خللی در وجود حد ایجاد میکنه؟
درواقع شما الان حد رو محاسبه کردین یعنی جواب برابر منهای 1 به توان n . ولی جواب آخر رو چه طور میشه به دست آورد؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Am.A
ویرایش شده توسط Am.A

جواب آخر میشه $ -(-1) ^{n-1} $ برای حل از هم ارزی $ e^{u}=1+u $ استفاده کردم: $$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{f_n-f_{n-1}}{(1-x)^{n}} =\lim_{x \rightarrow 1}{ \frac{ e^{Lnf_{n} (x) } - e^{Lnf_{n-1} (x) } }{(1-x)^{n}} }= \lim_{x \rightarrow 1}{ \frac{ e^{f_{n-1} (x)Lnx } - e^{f_{n-2} (x)Lnx } }{(1-x)^{n}} }= \ $$ $$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{Lnx(f_{n-1} (x)-f_{n-2} (x))}{ (1-x)^{n} } $$ اگر این مرحله را $ n-2 $ بار تکرار کنیم: $$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ (Lnx)^{n-2}(f_2(x)-f_1(x)) }{(1-x)^{n}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ (Lnx)^{n-2}(e^{xLnx}-e^{Lnx}) }{(1-x)^{n}}$$ $$ = \lim_{x \rightarrow 1} ( \frac{Lnx}{1-x} )^{n-1} \times \frac{x-1}{1-x} $$ $$ = -(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{Lnx}{1-x})^{n-1} =^{Hop} -( \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ \frac{1}{x} }{-1} )^{n-1} =-(-1)^{n-1} $$

دارای دیدگاه توسط kazomano
بعد از n-1 مرحله عدد -1 رو از کجا آوردین که نوشتین (1-x)?
دارای دیدگاه توسط Am.A
به جای f_0 گذاشته بودم یک که چون n باید طبیعی باشه یه جورایی غلطه.
الان یه مرحله بیشتر نوشتم که واضح تر باشه
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 596
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4695636
...