چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
196 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط fardina

مطلوب است محاسبه حد زیر

$ \lim_{x \to \infty } ( \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{ x^{a} + x^{2} } )^{x-[x]} $

به طوری که $a \in (0,2)$

دارای دیدگاه توسط farshchian2090
سلام. من صبح این سوال رو حل کرده بودم منتهی فرصت نشد جواب کامل رو بزارم انشالله میزارم در اولین فرصت.

این حد به ازای $a=\frac 43$ دارای حده و حدش صفر میشه و در نقاط دیگه a حد نامتناهی داره.

البته با هم ارزی خیلی راحت جوابش به دست نمیاد و من از راه حل معمولی و مزدوج گیری استفاده کردم. نمیدونم شاید هم جایی دقت نکرده باشم و حد به جای صفر عدد دیگه ای به دست میاد ولی مطمئنم فقط در یک مقدار a حد داره ولی در مقادیر دیگه نه. دوستان دیگه نظر بدن
دارای دیدگاه توسط kazomano
به ازای این مقداری که میگید حد برابر یک میشه. اما به ازای مقادیر دیگه هم حد داره.

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7
$$\begin{align}f(x)\\ &=(x^{(\dfrac{2}{3})} \sqrt[3]{1+4 x^{a-2}} - x^{(\dfrac{2}{3})}\sqrt[3]{1+ x^{a-2} } )^{x-\lfloor x\rfloor}\\ &=x^{ (\dfrac{2(x-\lfloor x\rfloor)}{3}) } (\sqrt[3]{1+4 x^{a-2}} - \sqrt[3]{1+ x^{a-2} } )^{x-\lfloor x\rfloor}\\ &=x^{(\dfrac{2(x-\lfloor x\rfloor)}{3} )} (1+(\dfrac{4 x^{a-2}}{3})+O(x^{a-3}) - (1+ \dfrac{x^{a-2}}{3}+O(x^{a-3})) )^{x-\lfloor x\rfloor}\\ &=x^{\dfrac{2(x-\lfloor x\rfloor)}{3}} ( x^{a-2}+O(x^{a-3} ))^{x-\lfloor x\rfloor}\\ &=x^{(x-\lfloor x\rfloor)(\dfrac{3a-4}{3})} ( 1+O(x^{-1} ))^{x-\lfloor x\rfloor}\end{align}$$

$ \bullet $ : در خط اول از$x^2$ فاکتور میگیریم .

$ \bullet $ : در خط سوم از بسط دو جمله ایی نیوتن استفاده میکنیم .

$ \bullet $ : در خط پنجم از$x^{a-2}$ فاکتور میگیریم .

حال همینطور که مشخص است اگر $a =\dfrac{4}{3}$ حاصل برابر یک خواهد بود زیرا :

$$x^{(x-[x])(\dfrac{3a-4}{3})}=1$$
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط saderi7

ابتدا حد $\sqrt[3]{4 x^{a}+ x^{2} }- \sqrt[3]{ x^{a}+ x^{2} }$ محاسبه می‌کنیم. برای سادگی قرار می‌دهیم $p(x)=4 x^{a}+ x^{2} $و $q(x)= x^{a}+ x^{2}$ حال داریم $$ \sqrt[3]{p(x)} - \sqrt[3]{q(x)}= \frac{p(x)-q(x)}{ \sqrt[3]{ p^{2} (x)}+ \sqrt[3]{p(x)q(x)} + \sqrt[3]{q^{2} (x)} } $$ حال داریم : $$ \sqrt[3]{p(x)} - \sqrt[3]{q(x)}= \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} $$ که $$h(x)= \sqrt[3]{ (1+4 x^{a-2} )^{2} } + \sqrt[3]{1+5 x^{a-2}+4 x^{2a-4} }+ \sqrt[3]{(1+ x^{a-2} )^{2}} $$ حال چون $a<2$ داریم :

$ \lim_{x \rightarrow \infty } h(x)=3$ بنابراین می‌توان نوشت : $$ \lim_{x \rightarrow \infty } \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{x^{a} + x^{2}}= \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} $$

حال اگر $\dfrac{4}{3}<a<2$ آن‌گاه حد برابر $+\infty $ اگر $a= \frac{4}{3} $ آن‌گاه حد برابر $1$ و اگر $0<a< \frac{4}{3} $

آن‌گاه حد برابر صفر است. حال می‌توان نوشت :

$$\lim_{x \rightarrow \infty } ( \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{x^{a} + x^{2}})^{x-[x]}= \lim_{x \rightarrow \infty } e^{(x-[x])\ln( \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} )}$$

حال قرار می‌دهیم $$g(x)=(x-[x])\ln( \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} )$$

اگر $ \frac{4}{3} <a<2$ با انتخاب دنباله‌های $x_{k} =k, y_{k} =k+ \frac{1}{2} $ داریم :

$g( x_{k} )=0,g( y_{k} ) \rightarrow + \infty$ چرا که $y_{k}\rightarrow \infty ,h( y_{k} )\rightarrow \infty $

حالت $0<a< \frac{4}{3} $ به صورت مشابه حد وجود ندارد.

تنها $a= \frac{4}{3} $ باقی می‌ماند که داریم :

$g(x)=(x-[x])\ln( \frac{3 }{h(x)} ) \longrightarrow 0 $ چرا که صفر ضربدر کراندار برابر صفر است پس حد تنها در این حالت وجود دارد و برابر 1 است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 599
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4695639
...