به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
165 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط good4us
ویرایش شده توسط fardina

معادله زیر را حل کنید

$[x]+[2x]+[3x]=6$

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط A Math L

اول دقت کنید که $x$ عددی کمتر از 2 و بیشتر مساوی یک میباشد .چون $x \geq \frac{4}{3} $ در معادله امکان پذیر نیست میتوان فهمید پاسخ معادله برابر است با $1 \leq x < \frac{4}{3} $

با نوشتن نامساوی میتوان فهمید این جواب ها در معادله صدق میکنند .

دارای دیدگاه توسط farshchian2090
پاسخ شما حدسی است سعی کنید جواب رو کامل بنویسید یا تصویرش رو بفرستید
دارای دیدگاه توسط A Math L
پاسخ حدسی نیست . چون تابع صعودیه میتوان به نتایج بالا رسید .
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط amirabbas
ویرایش شده توسط amirabbas

برای حل این معادله می توان آن را به صورت چند ضابطه ای نوشت . قبل از انجام این کار لازم است با مفهوم جزء اعشاری یک عدد آشنا باشیم . همانند جزصحیح یک عدد می توان برای عدد جزء اعشاری تعریف کرد. برای مثال می توان جزء اعشاری $\frac{3}{2}$ را عدد $\frac{1}{2}$ در نظر گرفت. می توان عدد x را به صورت ترکیبی از جزء اعشاری و جزء صحیح آن نمایش داد :

$$x = [x] + p$$

بدین صورت که که در رابطه بالا $p$ جزء اعشاری عدد $x$ است و همچنین $0 \leq p < 1 $ . از این روابط برای حل معادله استفاده خواهیم کرد.

معادله را با توجه به مفهوم جزء اعشاری بازنویسی می کنیم.

$$[x] + [2x] + [3x] = 6$$ $$[[x] + p] + [2([x] + p)] + [3([x] + p)] = 6$$

با توجه به صحیح بودن $[x]$ مقادیر $[x], 2[x], 3[x]$ را می توان از جزء صحیح خارج کرد و معادله را به صورت زیر نوشت:

$$6[x] + [p] + [2p] + [3p] = 6$$

حالا معادله را با توجه به مقدار $p$ به صورت چند ضابطه ای می نویسیم:

$$ \begin{cases}6[x] = 6 & 0 \leq p < \frac{1}{3}\\6[x] + 1 = 6 & \frac{1}{3} \leq p < \frac{1}{2}\\6[x] + 2 = 6 & \frac{1}{2} \leq p < \frac{2}{3}\\6[x] + 3 = 6 & \frac{2}{3} \leq p < 1 \end{cases} $$

با حل معادلات خواهیم داشت :

$$ \begin{cases}[x] = 1 & 0 \leq p < \frac{1}{3}\\ [x] = \frac{5}{6} & \frac{1}{3} \leq p < \frac{1}{2}\\ [x] = \frac{2}{3} & \frac{1}{2} \leq p < \frac{2}{3}\\ [x] = \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \leq p < 1 \end{cases} $$

با توجه به صحیح بودن $[x]$ به غیر از ضابطه اول دیگر ضابطه ها جواب ندارند.

شرط ضابطه اول به صورت زیر است:

$$0 \leq p < \frac{1}{3}$$

$[x]$ را به طرف های نامساوی بالا اضافه می کنیم.

$$[x] \leq [x] + p < \frac{1}{3} + [x]$$

بر طبق ضابطه اول $[x] = 1$ و همچنین با توجه به آنچه در ابتدا گفتم $[x] + p = x$ پس خواهیم داشت :

$$1 \leq x < \frac{4}{3}$$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...