به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
87 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط hvl145
ویرایش شده توسط saderi7

ثابت کنید : اگر$ a,b,c \geq 1$ بزرگتر یا مساوی یک باشند رابطه زیر برقرار است :$$\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1} < \sqrt{abc+c}$$

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@hvl145 چرا نصف پرسش را در عنوان و نیمی دیگر را در متن نوشته‌اید؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

ابتدا ما تعریف میکنیم : $$\sqrt{a-1}=x \ \ , \ \ \sqrt{b-1}=y \ \ , \ \ \sqrt{c-1}=z$$ در نتیجه خواهیم داشت :

$$a=x^2+1 \ \ ,\ \ b=y^2+1 \ \ , \ \ c=z^2+1$$

حال باید ثابت کنیم که :

$$x+y+z\le\sqrt{(z^2+1)\left(\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+1\right)}$$ $$ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\le(z^2+1)\left((x^2+1)(y^2+1)+1\right)$$

$$ \Leftrightarrow 0 \le z^2(x^2+1)(y^2+1)-2z(x+y)+x^2y^2-2xy+2$$ $$ \Leftrightarrow 0\le z^2(x^2+1)(y^2+1)-2z(x+y)+(xy-1)^2+1$$

حال اگر نامساوی زیر را ثابت کنیم . اثبات تمام شده است .

$$A:=z^2(x^2+1)(y^2+1)-2z(x+y)+1\ge 0$$

برای اثبات نامساوی بالا میدانیم که $A$ یک عبارت درجه دو بر حسب $z$ است که ضریب $z^2$ یعنی $(x^2+1)(y^2+1)$ همواره مثبت است .

و اینکه :

$$ \Delta=(x+y)^2-4(x^2+1)(y^2+1)(1) =-4(xy-1)^2\le0$$

نامساوی اثبات شد.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...