به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
167 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ f(x) + f(\frac{x-1}x)=x+1 $ باشد آنگاه حاصل $ f(x) $ چیست؟

مرجع: کتاب مبتکران فصل تابع

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

در سوال بجای $x $ مقدار $\frac{x-1}x $ را جایگذاری می کنیم لذا داریم: $$f(\frac{x-1}x)+f( \frac{ \frac{x-1}{x}-1}{ \frac{x-1}{x}} )=\frac{x-1}{x}+1\\ \Rightarrow f(\frac{x-1}x)+f( \frac{1}{1-x} )= \frac{2x-1}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) $$

سپس از تغییر متغیر $u= \frac{x-1}x$ بدست می آید که $x= \frac{1}{1-u} $ که با جایگذاری در معادله داده شده داریم: $$f( \frac{1}{1-u} )+f(u)= \frac{2-u}{1-u} $$ با تغییر متغییر $u=x $ رابطه ی شماره $ (2) $ بدست می آید: $$f( \frac{1}{1-x} )+f(x)= \frac{2-x}{1-x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$ حال رابطه ی داده شده در صورت سوال را با رابطه ی $ (2) $ جمع میکنیم لذا داریم: $$ 2f(x)+ f(\frac{x-1}x)+f( \frac{1}{1-x} )=\frac{2-x}{1-x}+(x+1)$$ حال با جایگذاری معادله ی شماره $ (1) $ داریم: $$ 2f(x)+\frac{2x-1}{x} =\frac{2-x}{1-x}+(x+1) \\ \Rightarrow 2f(x)=\frac{2-x}{1-x}+(x+1)-\frac{2x-1}{x} $$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...