به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
117 بازدید
در دانشگاه توسط Hamide
ویرایش شده توسط AmirHosein

اگر M یک R-مدول و $ \lbrace L_i\rbrace $ خانواده ای از زیر مدول های M باشد، ثابت میشود $ \bigcap_i L_i $ زیر مدول M است اما نمیتوان گفت $ \bigcup_i L_i $ حتما زیر مدول M است. چه شرایطی میتوان روی هر یک از شروط اضافه کرد که اجتماع نیز بتواند زیر مدول شود؟ لطفا منبعی برای جواب لطف کنید .

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط Hamide
 
بهترین پاسخ

اجتماع ساختارهای جبری الزاما ساختار جبری نمی‌شوند. نخستین نمونه‌هایی که باید دیده‌باشید (چون جبر یک و جبرخطی پیش‌نیاز جبر سه یا جبرپیشرفته هستند) فضاهای برداری، گروه‌ها و حلقه‌ها هستند. شرطی که برای مدول بودن اجتماع اعضای خانوادهٔ مدول‌هایی که برداشته‌اید (بدون هیچ دانشی از ساختارشان به غیر از مدول بودن) هست، این است که مدول‌هایتان تشکیل یک زنجیر تو در تو با رابطهٔ زیرمجموعه بودن بدهند. یعنی یک تعداد شمارا مدول $M_1\subseteq M_2\subseteq\cdots$ داشته باشید. در اینصورت $\cup_i M_i$ حتما یک مدول است. اثبات دقیقا شبیه همان اثباتی است که در حالت فضاهای برداری یا گروه‌ها یا حلقه‌ها و غیره انجام می‌دادید. برای منبع نیز تمامی کتب مقدماتی جبر که فصلی برای مدول‌ها داشته‌باشند این مطلب را دارند مگر اینکه در فصل‌های پیشین‌شان برای ساختار دیگری انجام داده‌باشند و برای جلوگیری از زیاده‌نویسی و خسته‌کنندگی متن، از تکراری که تنها دو سه واژه را جایگزین کرده باشند، خودداری کرده‌اند.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...