به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
111 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط hvl145
ویرایش شده توسط AmirHosein

در شکل زیر، شعاع دایره برابر یک و زاویهٔ $C$ و $A$، ۱۰ درجه و زاویهٔ $AOB$، ۴۰ درجه است. چگونه می‌توانم کمان $CD$ را محاسبه کنم؟ enter image description here

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
می‌توانید اطلاعات مسأله را تایپ کنید و شکل را وارد کنید. درست است اندکی زمان ازتان می‌گیرد ولی به این نیز توجه کنید که افرادی که پاسخ می‌دهند نیز زمانشان را برای تایپ و توضیح پاسختان صرف کرده‌اند! برایتان این پرسش را ویرایش کردم.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

ایدهٔ این حل دیشب زمان شام به ذهنم رسید. در واقع زمانی که با شائوله این پرسش را مطرح کردم خواست با حل دستگاه چند معادله چند مجهول سینوس و کسینوس زاویهٔ مطلوب را بدست آورد که باعث شد یاد قانون سینوس‌ها و قانون کسینوس‌ها در سه‌گوش‌ها بیفتم. نخست این دو قانون را یادآور می‌شویم.

برای یک سه‌گوش با گوشه‌های $A$ و $B$ و $C$ که اندازه‌ٔ ضلع‌های روبرویشان را با حروف کوچک $a$ و $b$ و $c$ نشان می‌دهیم و اندازهٔ زاویه‌های این گوشه‌ها را با خود حروف بزرگ نمایش داده‌ایم، قانون سینوس‌ها می‌گوید: $$\dfrac{\sin(A)}{a}=\dfrac{\sin(B)}{b}=\dfrac{\sin(C)}{c}$$ قانون کسینوس‌ها می‌گوید: $$\begin{array}{l}a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(A)\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(B)\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(C)\end{array}$$ انتظار می‌رود که نخستین کاری که کرده‌باشید این باشد که فهمیده‌باشید که زاویهٔ $\widehat{AOP}$ برابر ۱۴۰ درجه است و به دنبال آن زاویهٔ $\widehat{APO}$ برابر با ۳۰ درجه است. با در نظر گرفتن سه گوش $AOP$ و یک تغییر نام کوچک مطابق شکل زیر enter image description here

و استفاده از قانون سینوس‌ها داریم: $$\dfrac{\sin 10}{a}=\dfrac{\sin 30}{1}$$ که سینوس ۳۰ درجه برابر یک دوم است و توجه کنید که $AO$ و $OC$ شعاع‌هایی از دایره هستند و برای همین می‌دانیم که اندازه‌شان یک است. در نتیجه داریم $a=2\sin 10$. اینک سه‌گوش $OPC$ را در نظر بگیرید و تغییر نام آن را مطابق شکل زیر انجام دهید. enter image description here

دوباره از قانون سینوس‌ها داریم: $$\dfrac{\sin(C')}{1}=\dfrac{\sin 10}{2\sin 10}$$ در نتیجه سینوس زاویهٔ $OPC$ برابر می‌شود با یک‌دوم. چون $OPC$ زاویه‌ای باز است پس برابر با $180-30=150$ درجه است. اکنون زاویهٔ $COP$ برابر با $180-(10+150)=20$ است. پس کمان $CD$ برابر می‌شود با $\dfrac{20}{360}\times (2\pi)\times 1$ یعنی $\dfrac{\pi}{9}$.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
20 نفر آنلاین
0 عضو و 20 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1215
بازدید دیروز: 5435
بازدید کل: 4834327
...