به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
103 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط hvl145
ویرایش شده توسط fardina

لطفا معادله زیر را حل کنید: $$8t^3-6t+1=0$$

دارای دیدگاه توسط fardina
لطفا عنوان مناسب بنویسید. ممکنه سوالات زیادی در مرد حل معادله باشه و مطمینا خوب نیست همه بنویسن معادله زیر را حل کنید. تایپ ریاضی رو هم یاد بگیرید در قسمت راهنمای تایپ. و برچسب مناسب انتخاب کنید. نمیدونم این سوال چه ربطی به ریاضیات گسسته داشت که به عنوان برچسب انتخاب کرده بودید. ممنون.
دارای دیدگاه توسط hvl145
چشم خیلی ممنون برای توضیحاتتون
دارای دیدگاه توسط hvl145
خیلی ممنون

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

قرار دهید $x=2t$ داریم $x^3-3x+1=0$

با مقایسه کردن جملات بالا با جملات $(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$ چنانچه بتوانیم $u,v$ ی پیدا کنیم که $x=u+v$ در اینصورت $$\begin{cases}-3uv=-3\implies u^3v^3=1\\ u^3+v^3=-1\end{cases}$$

اما $u^3,v^3$ ریشه های معادله درجه دوم $y^2-(u^3+v^3)y+u^3v^3=0$ یعنی $y^2+y+1=0$ هستند که با حل آن داریم: $$u^3=\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\cos \frac{2\pi}3+i\sin \frac{2\pi}3=e^{\frac{2\pi}3i}$$

بنابراین $$u=e^{\frac{2\pi}9i},e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$ و چون $uv=1$ پس $$v=\frac 1u=e^{\frac{-2\pi}9i},e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$ بنابراین $$x=u+v=e^{\frac{2\pi}9i}+e^{\frac{-2\pi}9i}=2\cos \frac{2\pi}9$$ و $$ x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3) $$ و $$x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$ ریشه های معادله ی $x^3-3x+1=0$ هستند و چون $x=2t$ پس کافی است ریشه های به دست آمده را بر $2$ تقسیم کنید تا ریشه های معادله خواسته شما به دست آیند یعنی: $$t=\cos \frac{2\pi}9, \cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3), \cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$

دارای دیدگاه توسط fardina
البته این روش به رو کاردانو معروف بوده و میتونید در موردش در اینجا مطالعه کنید: https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#Cardano.27s_method
دارای دیدگاه توسط hvl145
خیلی ممنون
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
58 نفر آنلاین
1 عضو و 57 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2072
بازدید دیروز: 5435
بازدید کل: 4835183
...