به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
118 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

برای هر $- \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ نشان دهید که : $$ | sin \theta | \geq \frac{2}{\pi} | \theta | $$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

تابع $ \frac{sin x}{x} $ را در بازه ی $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ در نظر میگیریم ثابت میکنیم مشتقش منفی است لذا مقدار مینیمم تابع در نقطه ی $ \frac{\pi}{2}$ بدست می آید و برابر $ \frac{2}{\pi} $ است.

مشتق این تابع برابر است با $ \frac{xcos x-sinx}{ x^{2} } $ صورت منفی است. زیرا $x \leq tanx $ است یعنی $ xcos x \leq sinx $ است.

دارای دیدگاه توسط
+3
البته فکر کنم بهتر باشه که برای $x=0$ بگیم که واضحه(با جاگذاری) و برای $x\neq 0$ بقیه مطالب شما رو بیان کنیم. چون تابع $\sin x/x$ در صفر تعریف نشده است.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...