به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
92 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

حاصل انتگرال زیر را بیابید.

$$ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{e^x+1} dx \ \ \ \ \ \ \ 0<a<1 $$

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

$$ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{e^x+1} dx \ \ \ \ \ \ \ 0<a<1 $$

ابتدا با یک تغییر متغیر :

$$u=e^x \to du=e^xdx$$

انتگرال رو به صورت زیر در می آوریم :

$$I=\int_{0}^{+\infty} \frac{u^{a-1}}{u+1} du$$

حال این انتگرال رو میتوان با استفاده از توابع بتا و گاما بدست اورد به صورت زیر :

enter image description here

در نتیجه خواهیم داشت :

$$I=\int_{0}^{+\infty} \frac{u^{a-1}}{u+1} du=\frac{\pi}{\sin(a\pi)}$$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...