چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
344 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20
ویرایش شده توسط amirm20

با سلام من سوالی داشتم از تغییر متغیر در حد که استفاده میکنیم .

اگر : $$\lim \limits_{x\to a}g(x)=b,$$ ثابت کنید که : $$\lim \limits_{x\to a}f(g(x))=\lim \limits_{g(x)\to b}f(g(x))$$

الیته خودم فکر نمیکنم در حالات کلی درست باشد . ممنون میشم اگر قضیه کلیشو با فرض هایی که داره ( به صورت آنالیزی ) بیان کنید و بگید که چگونه اثبات میشود .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط amirm20
 
بهترین پاسخ

در حالت کلی از $$\lim_{x\to a}g(x)=b\\ \lim_{y\to b}f(y)=c$$ نمی توان نتیجه گرفت که $\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{y\to b}f(y)$ .

به عنوان مثال اگر $g(x)=0$ و $$f(x)=\begin{cases}1&x\neq 0\\ 0&x=0\end{cases}$$

در اینصورت $\lim_{x\to a}g(x)=0$ به ازای هر $a$ و $ \lim_{y\to 0}f(y)=1 $ در حالیکه $$\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{x\to a}f(0)=\lim_{x\to a}0=0$$

با این حال اگر $f$ در $b$ پیوسته باشد برابری درست خواهد بود. به اینجا نگاه کنید.


ویرایش بعد از دیدگاه شما:

برای حالتی که $\lim_{x\to \infty}g(x)=b$و $f$ در $b$ پیوسته باشد بازهم با تغییر کمی در اثبات موجود در لینکی که بالا گذاشتم ثابت میشه که $\lim_{x\to \infty}f(g(x))=\lim_{x\to b}f(x)$

برای حالتی که $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$ و $\lim_{x\to \infty}f(x)=c$ آنگاه باز هم می توان ثابت کرد $\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{x\to \infty}f(x)=c$

اثبات: فرض کنید $\varepsilon>0$ داده شده باشد چون $\lim_{x\to \infty}f(x)=c$ پس $$\exists N\ :\ \forall x\geq N\implies |f(x)-c|< \varepsilon$$ و چون $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$ لذا متناظر با $N$ یافت شده $$\exists \delta>0\ : \ \forall 0< |x-a|< \delta\implies g(x)> N$$

در اینصورت برای $\delta$ ی یافت شده چنانچه $|x-a|< \delta$ خواهیم داشت $|f(g(x))-c|< \varepsilon$ .

و در نهایت چنانچه $a,b,c$ نیز هر سه بی نهایت شوند باز حکم برقرار خواهد بود.

دارای دیدگاه توسط amirm20
@fardina
ممنون بابت پاسخ . اگر $a,b$  بینهایت باشند چگونه میشود ؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@amirm20
لطفا ویرایش رو ببینید.
دارای دیدگاه توسط amirm20
–1
@fardina
ممنون . اما در ترکیب توابع که ذکر کردید . به ایکس به سمت یک عدد میرود  اما در تغییر متغیر یک تابع به چیزی میل میکند چرا اینهارو با هم معادل گرفتید ؟
دارای دیدگاه توسط fardina
@amirm20
خوب مثلا در $\lim_{x\to 1}\sin (x-1)$ اگر قرار دهید $g(x)=x-1$ در اینصورت $\lim_{x\to 1}\sin (g(x))=\lim_{y\to 0}\sin (y)$ چرا که $\sin$ پیوسته است و $\lim_{x\to 1}x-1=0$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 393
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709535
...