چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
144 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirabbas

سلام . بعضی از روابط هستند که اگه اون ها رو رسم کنیم خواهیم دید که شباهت هایی به یک هذلولی دارند. سوالم اینه که از کجا میشه فهمید این شکل ها واقعا هذلولی هستند یا نه؟ چند نمونه از روابطی که میگم رو در زیر نوشتم.اگه این رابطه ها رو با انتقال رسم کنیم شبیه هذلولی می شوند. می دانیم تابع $y = \frac{1}{x}$ یک هذلولی است که بوسیله دوران می توان معادله استاندارد آن را بدست آورد. آیا امکان دارد که روابط زیر هم هذلولی باشند و بتوان به وسیله ی روشی معادله استاندارد آن ها را به دست آورد؟ و دیگه این که اگه فرض کنیم هذلولی باشن باید کانون داشته باشن و اگه بدونیم کانون کدوم نقطه است میشه بررسی کرد که نقاط این رابطه در تعریف هذلولی صدق می کنند یانه ولی مشکل اینجاست که کانون احتمالی این رابطه ها رو هم نمیتونم بدست بیارم. اگر هذلولی نیستند چگونه می توان این موضوع را اثبات کرد؟

$$ |y| = log(|x|) $$ $$ |y| = \sqrt{|x|-1} $$ $$ |y| = e^{|x|} $$ $$ |y| = x^2 + 1 $$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط amirabbas
 
بهترین پاسخ

تعریف هذلولوی را به یاد آورید. دو نقطه کانون و یک عدد مثبت برمی‌دارید که دو نقطه بر هم منطبق نیستند و فاصلهٔ آنها را $2c$ فرض می‌کنیم. توجه کنید که $c$ را من خودم نمی‌دهم بلکه فاصلهٔ بین آن دو نقطه را تقسیم بر دو می‌کنم و یک عدد به دست می‌آورم که $c$ می‌نامم. اگر عدد مثبت $a$ از $c$ بزرگتر یا مساوی بود در آن صورت هذلولوی‌ای تعریف نمی‌شود (دلیلش از تعریفی که یادآور می‌شویم روشن است). اکنون هذلولوی تولید شده به وسیلهٔ این دو نقطه و آن عدد را مجموعهٔ نقطه‌هایی از $\mathbb{R}^2$ تعریف می‌کنیم که قدرمطلق تفاضل فاصله‌شان از این دو نقطه برابر $2a$ شود.

زمانی که این تعریف هذلولوی را در هندسهٔ تحلیلی انجام می‌دادند بلافاصله نیز اثبات می‌کردند که هر نقطه از هذلولوی تولید شده بوسیلهٔ دو نقطهٔ $F_1=(a_1,b_1)$ و $F_2=(a_2,b_2)$ و عدد مثبت $a$ که $a\lneqq\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}$ است در برابری (معادله) زیر صدق می‌کنند. حتی بیشتر، نقاط این هذلولوی دقیقا پاسخ‌های این برابری هستند. $$|\sqrt{\sqrt{(x-a_1)^2+(y-b_1)^2}+\sqrt{(x-a_2)^2+(y-b_2)^2}}|$$

می‌توانید نشان دهید که قدرمطلق تفاضل فاصلهٔ هیچ نقطه‌ای از صفحه از دو نقطهٔ ثابت بیشتر از فاصلهٔ بین آن دو نقطه نمی‌شود. راهنمایی: یک سه گوش دارید و سپس نامساوی سه‌گوشی (مثلثی) استفاده کنید. این دلیل آن بود که $a$ را از $c$ کوچکتر باید بگیرید و گر نه مجموعه پاسخ‌های برابری‌تان تهی می‌شود.

اکنون یک محک برای اینکه ببینید آیا یک نگاشت (نگاشت الزاما تابع نیست و نگاشتی که نمودارش کل هذلولوی شود نیز تابع نیست) هذلولوی است و با دو کانون و یک عدد مثبت تعریف شده‌است یا خیر دارید. (برای تفاوت بین تابع و نگاشت به پاسخ آمده در این پیوند نگاه بیندازید).

بیایید نمونه‌ای از نگاشت‌هایی که خودتان در متن پرسش‌تان آورده‌اید را بررسی کنیم. $$|y|=x^2+1$$

نکته: توجه کنید که با کمک تعریف هذلولوی یا برابری تعریف‌کننده‌اش می‌توانید ببینید که هذلولوی همیشه نسبت به خط وصل کنندهٔ دو کانونش و همین‌گونه نسبت به عمودمنصف آن خط متقارن است. بعلاوه عمودمنصف آن خط را قطع نمی‌کند. بعلاوه عمودمنصف را در دونقطه قطع می‌کند که فاصله‌شان از هم برابر $2a$ می‌شود.

چون نمودار نگاشت شما نسبت به محور $y$ ها و محور $x$ ها متقارن است و محور $y$ ها را در دو نقطه با پهنا (عرض) یک و منفی یک قطع کرده‌است، اگر بخواهد هذلولوی باشد چاره‌ای ندارد به جز اینکه کانون‌هایش روی محور $x$ ها باشد و $2a=2$ . پس در برابری‌تان باید بگذارید $$a=2,a_1=0,b_1=c,a_2=0,b_2=-1$$ اکنون چون برای هر نقطه از هذلولوی باید برابری برقرار باشد بیایید یک نقطه از قسمت بالای این نمودارتان که با $y$ مثبت است را چک کنیم. پس باید به جای $y$ در رابطه‌تان قرار دهید $x^2+1$ در نتیجه یک معادله و دو مجهول دارید. آن را ساده کنید اگر $x$ حذف شد و $c$ مساوی عددی ثابت شد یعنی کانون‌های شما دو نقطه هستند و واقعا هذلولوی دارید. اگر به جای آن به یک معادله‌ای که $x$ به هیچ وجه در آن زائد نیست رسیدید یعنی این تفاضل فاصله برای برابر شدن با $2a$ برای هر نقطه از نمودار نسبت به دو کانون متفاوت حساب شده‌اند! یعنی با تغییر $x$ ، مقدار $c$ شما تغییر می‌کند که تناقض است چون شما کانون‌ها را دو نقطهٔ ثابت فرض کرده‌اید که $c$ آنها نمی‌تواند تغییر کند؟ چگونه امکان دارد طول و عرض یک نقطهٔ ثابت چند عدد متفاوت شود؟

برای این نگاشت آخرین رابطه‌ای که در ساده‌سازی بازگشتی (توان رساندن و انتقال عبارت‌ها و ساده‌سازی) من به رابطهٔ زیر رسیدم: $$(16c^2-64)x^4+(32c^2-192)x^2-48c^2+192=0$$ همان‌گونه که می‌بینید به حالتی رسیدیم که هذلولوی ندارید.

اگر دلتان خواست روش بالا را برای زمانی که $|y|=\sqrt(x^2+1)$ است به جای خود $x^2+1$ امتحان کنید، آنگاه به $c=\sqrt{2}$ می‌رسید. و این دقیقا هذلولوی $y^2-x^2=1$ است.

نگاشت‌های دیگری که در پرسش‌تان آورده‌اید را نیز به همین شیوه چک کنید که هذلولوی هستند یا خیر. تنها چیزی که اذیت می‌کند این است که باید یک مقدار محاسبه انجام بدهید که خسته‌کننده‌است. شاید کمک گرفتن از یک نرم‌افزار برای انجام ساده‌سازی‌ها کمی کمکتان کند.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
80 نفر آنلاین
1 عضو و 79 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3571
بازدید دیروز: 8256
بازدید کل: 4498694
...