چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
155 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط محمد محمدی
ویرایش شده توسط fardina

در صورتی که اعداد طبیعی $ 1 $ تا $222222222 $ به دنبال هم نوشته شوند، چند صفر نوشته ایم؟

دارای دیدگاه توسط yedost
ویرایش شده توسط yedost
+1
روشی جالبیه فقط در محاسبه اعداد بین 100000000 تا 222222222 رقم اول از سمت چپ فقط دو حالت دارد :


1)اگر رقم اول از سمت چپ 1 باشد، 8 رقم باقیمانده می توانند هر کدام 10 حالت داشته باشند که طبق فرمول ذکر شده
$$
1 \times 8 \times  10^{7}=80000000$$ صفر وجود دارد.

2) اگر اولین رقم سمت چپ 2 باشد،
 8 رقم باقیمانده فقط سه حالت (0 ، 1 ، 2) می توانند داشته باشد. طبق رابطه ذکر شده، $$
1  \times 8 \times  3^{7}=17496$$
 صفر وجود دارد.
 
در کل بین این اعداد $$
17496+80000000=80017496$$ صفر وجود دارد.

2 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

سلام یک روش جالبتر برای جواب سوال فرض تعداد صفرهای اعداد $ 8 $ رقمی رو بخواهیم اولین عدد سمت چپ یکی از اعداد $1 $ تا $9 $ است فعلا فرض $ 1$ باشد تو $ 7 $ رقم باقیمانده تعداد صفرهای بکار رفته در تمام حالات با تعداد $ 1 $ ها با تعداد $ 2$ ها و.... برابر است لذا کافیه تعداد ارقام بکار رفته رو حساب کنیم و بر $10 $ تقسیم کنیم( $0 $ و $1 $ و $ 2 $ و ..و $ 9 $ میشه $ 10$ حالت) و تعداد صفرها بدست می آید که با ضرب در تعداد حالات رقم اول سمت چپ که نه بود جواب بدست می آید. تو $ 7 $ رقم باقیمانده برای هر رقم $ 10 $ حالت داریم لذا در کل $ 10^{7} $ عدد مختلف $ 7 $ رقمی میتوانیم بسازیک که هر عدد از $ 7 $ رقم تشکیل شده لذا در کل $ 7 \times 10^{7} $ رقم بکار رفته با تقسیم بر $10 $ و ضرب در $9 $ تعداد صفرها برابر است با

$ 9 \times 7 \times 10^{6}$

بطور مشابه تعداد صفرهای تمام اعداد $ n $ رقمی برابر است با

$ 9 \times (n-1) \times 10^{n-2}$

لذا تعداد صفرهای اعداد $ 1 $ تا $ 8$ رقمی ها برابر

$$ \begin{align} &1+9(1+ 2 \times 10+3 \times 10^{2}+4 \times 10^{3}\\ &\ \ \ \ \ +5 \times 10^{4}+6 \times 10^{5}+7 \times 10^{6} )\\ &=1+9(7654320)\\ &= 68888889 \end{align}$$

است اما تعداد صفرهای از $100000000 $ تا $2222222222 $ (با همون روش بالا و اینکه اولین عدد سمت چپ فقط $2 $ حالت دارد(بجای $ 9 $ حالت) بدست می آید) برابر $ 106419752 $ است لذا درکل

$ 175308641 $

صفر داریم

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط zh
ویرایش شده توسط admin

اعداد را برحسب دو رقمی ، سه رقمی و .... و هشت رقمی و اعداد $ 9 $ رقمی از $ 100000000 $ تا $222222222 $ دسته بندی میکنیم. برای اعداد $ 2 $ رقمی جایگشتی دو تایی در نظر بگیرید، رقم اول میتواند $ 9 $ حالت اختیار کند ولی رقم دوم باید $0 $ باشد لذا $9 $ حالت داریم.

برای اعداد $ 3 $ رقمی جایگشتی سه تایی در نظر میگیریم:

  1. جایگشت اول $9 $ حالت دارد و دو جایگشت دیگر حتما $0 $ باشند.

  2. یکی از دو جایگشت رقم $ 0 $ باشد پس جایگشت دیگر نیز $9 $ حالت دارد

لذا داریم: $9 + 9 \times 9 \times {3\choose 2} $.

برای اعداد $4 $ رقمی نیز جایگشتی $ 4 $ تایی در نظر میگیریم:

  1. رقم اول $ 9$ حالت دارد و بقیه جایشگتها $ 0 $ باشد.
  2. دو تا از سه جایگشت $ 0 $ باشند.
  3. یکی از سه جایگشت $0 $ باشد.

    داریم $ 9 + 9^{2} \times {3\choose 2} + 9^{3} \times {3\choose 1} $

به همین منوال تا اعداد $ 8 $ رقمی پیش می رویم.

اما برای اعداد $9 $ رقمی محدودیت داریم. دقیقا به روش فوق پیش می رویم با این تفاوت که بجای $9$ ، $2$ قرار می دهیم در نهایت با محاسبه، تعداد $ 0 $ برابر است با $51585049 $ .

دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
روش درستیه اما تعداد صفرهارو نمیشماره بلکه تعداد اعدادی که صفردارند رو می شماره مثلا همون اعداد سه رقمی که حساب کردیم اون 9 حالت(دو رقم حتما صفر دارند) باید 18 بنویسید(9 عدد که دو رقمشون صفره لذا 18 صفر دارند)
دارای دیدگاه توسط zh
ویرایش شده توسط zh
+1
بله حق با شماست. به این نکته توجه نکردم. راه حلتون هم جالبه. ولی من این جمله "تعداد صفرهای بکار رفته در تمام حالات با تعداد 1 ها با تعداد 2 ها و.... برابر است" رو نفهمیدم میشه بیشتر توضیح بدین؟؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
مثلا تمام اعداد 3 رقمی رو در نظر بگیرید رقم صدگان همه رو حذف کنید تو تمام اعداد باقیمانده به هر تعدادی 0 بکار رفته باشه به همون اندازه 1 داریم چون برای بدست آوردن تمام این اعداد ما جایگشت(متقارن) اعداد 0 تا9 رو حساب میکنیم که هیچ عددی بر دیگری برتری نداره و به یک اندازه استفاده می شوند.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
56 نفر آنلاین
0 عضو و 56 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1761
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4704088
...