چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
282 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط shahabmath

راه تشخیص زوج یا فرد بودن یک عدد مبنادار چیست؟ مثلا از کجا بفهمیم $ \big(76753\big) $ در مبنای 8 زوج است یا فرد؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط amirabbas
ویرایش شده توسط amirabbas

در مقاله زیر توضیحات خوبی در این مورد داده شده. برداشتم رو از این مقاله می نویسم:

https://www.johndcook.com/blog/2011/08/17/odd-numbers-in-odd-bases

در حالت کلی می توان گفت:

یک عدد در مبنای فرد ، فرد است اگر و تنها اگر مجموع ارقام آن عدد عددی فرد باشد به عبارت دیگر اگر تعداد فردی رقم فرد داشته باشد و در غیر اینصورت عددی زوج است.

یک عدد در مبنای زوج ، زوج است اگر و تنها اگر رقم آخر آن عددی زوج باشد.

این احکام بدین طریق اثبات می شوند:

عددی n رقمی در مبنای b فرض می کنیم . نمایش این عدد در مبنای 10 به صورت زیر است:

$$ a_1 + a_2b + a_3b^2 + ... + a_nb^{n-1}$$

اگر b عددی زوج باشد خواهیم داشت:

$$ a_1 + a_2(2k) + a_3(2k)^2 + ... + a_n(2k)^{n-1} $$

واضح است که به جز $a_1$ دیگر جملات حتما زوج هستند و طبعا مجموع آنها عددی زوج خواهد بود.پس اگر $a_1$ که همان رقم اول عدد است زوج باشد این عدد زوج و اگر فرد باشد این عدد فرد است و اولین حکم اثبات می شود.

برای حکم دوم فرض می کنیم b عددی فرد است:

$$ a_1 + a_2(2k+1) + a_3(2k+1)^2 + ... + a_n(2k+1)^{n-1} $$

با به توان رساندن این عدد می بینیم تمام جملات به جز جملات زیر حتما زوج هستند

$$ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n $$

پس عدد زوج است اگر و تنها اگر مجموع این عبارت عددی زوج باشد و در غیر اینصورت عددی فرد است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
95 نفر آنلاین
0 عضو و 95 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3707
بازدید دیروز: 8256
بازدید کل: 4498830
...