به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
1,162 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Malekzadeh
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

مفهوم خوش تعریفی چیست؟

وقتی میگن ثابت کنید خوش تعریف است ؛باید چکار کنیم؟

آیا خوش تعریفی فقط برا توابع مطرح میشه؟

1 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

زمانی که یک نگاشت تعریف می‌کنید (توجه کنید که می‌گویم نگاشت نه تابع! تابع‌ها نگاشت هستند ولی نگاشت‌ها الزاما تابع نیستند)، یک دامنه و یک هم‌دامنه برای آن نیز مشخص کرده‌اید. یک نگاشت یک رابطه است و یک رابطه یک زیرمجموعه از حاصل‌ضرب دکارتی دامنه در هم‌دامنه است. وقتی می‌گوئید $y$ تصویر $x$ تحت نگاشت $f$ است، در واقع دارید می‌گویید $x$ عضوی از دامنه و $y$ عضوی از هم‌دامنه است که تحت این نگاشت با هم در رابطه قرار گرفته‌اند. دقیق‌تر، اگر دامنه‌تان $A$ و هم‌دامنه‌تان $B$ باشد آنگاه $f$ مربوط به یک زیرمجموعه از $A\times B$ است که $(x,y)$ عضو آن مجموعه است.

اکنون یک نگاشت که در دو شرط زیر صدق کند را تابع می‌گویند؛

  1. روی تمام اعضای دامنه تعریف شده باشد. یعنی به ازای هر $x\in A$ یک زوج مرتب یا درایهٔ یکمِ $x$ در مجموعهٔ متناظر داشته باشیم.
  2. به هر عضو از دامنه تنها یک عنصر از هم‌دامنه را تصویر کند. یعنی به ازای هر $x\in A$ تنها یک زوج مرتب با درایهٔ یکمِ $x$ در آن مجموعه داشته باشیم.

خیلی از مدرسین این اشتباه را دارند که «خوش‌تعریف بودن یک نگاشت» را با «تابع بودن یک نگاشت» یکی معرفی می‌کنند که کاملا اشتباه است، اما متأسفانه در برخی جاها مرسوم شده‌است.

خوش‌تعریف بودن یک نگاشت چیزی جز نگاشت بودنش نیست. یعنی شما باید ثابت کنید که به ازای هر عضو دامنه، تصویری که معرفی می‌کنید واقعا عضو هم‌دامنه است! به عبارت دیگر، واقعا زیرمجموعه‌ای از $A\times B$ دارید.

معمولا در دروس مقدماتی مانند جبر یک، خوش‌تعریف بودن عمل‌های جمع و ضرب ساختارها را از دانشجو می‌خواهند، که دلیل آن مطمئن شدن از این است که دانشجو عمل‌ها را خوب شناخته‌است. به غیر از آن، در مقاله‌ها و کارهای تحقیقاتی، زمانی که برای اولین بار عمل یا نگاشت یا تابعی را معرفی می‌کنید که بدیهی نیستند، باید خوش‌تعریف بودن آن را نشان دهید. گاهی ضابطه‌هایی که می‌نویسید واقعا بدیهی نیست که حاصلشان در مجموعه‌ای که به عنوان هم‌دامنه معرفی کردید قرار می‌گیرند. یا نمونهٔ دیگری که نیاز به اثبات و نشان دادن خوش‌تعریفی دارید زمانی است که زیرمجموعه‌ای از یک گروه یا ساختاری را به عنوان زیرگروه یا زیرساختار برمی‌دارید. باید مطمئن باشید که نسبت به آن عمل بسته است که چیزی جز نشان دادن خوش‌تعریف بودن تحدید عمل یا اعمال اصلی به این زیرمجموعه نمی‌باشد.

دارای دیدگاه توسط kazomano
+1
سلام.یک مرجع برای تایید گفته هاتون ذکر کنید.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@kazomano بسیار خوب است که به منبع اشاره کردید. متأسفانه مرجع چاپ‌شده‌ای به ذهنم نمی‌رسد. همین‌گونه که اشاره شد این بحث خوش‌تعریفی جزو بحث‌هایی است که یکی‌گرفتنش با تابع‌بودن رایج شده‌است. سایت‌های stackexchange و wikipedia نیز در قسمتی قرار دارند که نه تنها خوش‌تعریفی نگاشت را با تابع‌بودنش یکی گرفته‌اند بلکه به شدت روی اینکه دو واژهٔ تابع و نگاشت یکی هستند نیز تعصب دارند. به هر حال محیطی که من در آن آموزش دیده‌ام و همین‌طور چیزی که خودم به دانشجویانم تدریس می‌کنم، واژه‌های نگاشت و تابع و در نتیجه خوش‌تعریفی و تابع‌بودن را یکسان نمی‌گیریم.
دارای دیدگاه توسط amirabbas
ویرایش شده توسط amirabbas
+1
@AmirHosein
تعریفی که نگاشت بیان کردید کاملا با تعریفی که در کتاب هندسه ۲ برای نگاشت آمده تفاوت دارد.در کتاب هندسه نوشته یک نگاشت از D به R یک عمل نظیرسازی است که به هر عضو مجموعه D **یک و تنها یک عضو از  مجموعه R** را نظیر می کند. صفحه 90 لینک زیر(صفحه 84 خود کتاب صفحه 90 pdf) :
http://chap.sch.ir/sites/default/files/lbooks/95-96/30/C258-4.pdf
آیا این تعریف صحیح است ؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@amirabbas در این‌صورت نویسندگان کتاب هندسهٔ ۲ در ردیف افرادی هستند که نگاشت را همان تابع تعریف می‌کنند. مکتبی که من در آن هستم نگاشت را برای ضابطه‌هایی که الزاما تابع نیستند به کار می‌برد و این را بی‌معنا می‌داند که دو نام برای یک مفهوم بدون داشتن هیچ نکته‌ای که توجیح کند یک جا برای این مفهوم از واژهٔ نگاشت استفاده کنم و یک جای دیگر برای همان مفهوم بدون داشتن هیچ تفاوت یا دلیلی، یک واژهٔ دیگر یعنی تابع به کار ببرم. از این اختلاف‌ها در ریاضی زیاد است. برای نمونه در هندسهٔ جبری برخی واریته را به هر مجموعهٔ بستهٔ جبری در توپولوژی زاریسکی می‌گویند و مجموعهٔ بستهٔ جبری تجزیه‌ناپذیر را واریتهٔ تجزیه‌ناپذیر می‌گویند ولی برخی به یکُمی همان مجموعهٔ بستهٔ جبری و به دومی واریته می‌گویند و برایشان مفهومی به نام واریتهٔ تجزیه‌ناپذیر دیگر وجود ندارد. برای نمونه آقای دیوید کاکس جزو گروه یکم است و آقای رابین هارتشورن جزو گروه دوم است.

اینکه بگوئیم درست است یا خیر، کمی معقول نیست چون اختلاف سلیقه‌ای مکتبی است. ولی اگر می‌پرسید من کدام نظر را قبول دارم، جزو افرادی هستم که نگاشت را با تابع یکی تعریف نمی‌کنم.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...