چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
290 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20
ویرایش شده توسط amirm20

باسلام ایا این جملات زیر همواره درست هستند .اگر بله چگونه اثبات میشوند :

الف : اگر حد دنباله ایی( از اعداد حقیقی) به مثبت بینهایت یا منفی بی نهایت میل کند انگاه دنباله بیکران است .

ب: اگر دنباله ایی ( از اعداد حقیقی )به چند عدد همگرا باشد انگاه دنباله کراندار است .

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
مشخص نکردید که دنباله ها در چه فضایی هستن.
عنوان هم اصلا مناسب نیست. قضیه همگرایی و کرانداری یعنی چی؟ قضیه به خصوصی منظورتون هست؟ چرا برچسب دنباله توابع انتخاب کردید؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط amirm20
 
بهترین پاسخ

فرض کنیم $x_n$ دنباله ای در اعداد حقیقی باشد که $\lim_{n\to \infty}x_n=\infty$

منظور از کرانداری یک دنباله این است که جملات آن در یک گوی بیفتند یا بطور متناظر $K\in\mathbb N$ موجود باشد که $|x_n|\leq K$ . پس برای اینکه ما ثابت کنیم این دنباله کراندار نیست کافی است نشان دهیم برای هر $K\in \mathbb N$ حداقل جمله ای از این دنباله مثل $x_n$ موجود است که $|x_n|> K$

اما برای هر $K\in\mathbb N$ بنا برتعریف $\lim_{n\to\infty}x_n=\infty$ عدد طبیعی $N$ موجود است به طوریکه $$\forall n\geq N\implies x_n> K $$

پس نه تنها یک جمله که از جمله ای به بعد داریم $|x_n|> K$ که کراندار نبودن را نتیجه می دهد.

در مورد سوال دوم که باید بگم هر دنباله ای در اعداد حقیقی حد منحصر به فردی دارد و امکان ندارد به چند عدد همگرا باشد. همینطور در مورد هر دنباله ای در فضاهای متریک و هر دنباله در فضاهای توپولوژیک هاسدورف(در فضاهای توپولوژیک که هاسدورف نباشند، حد در صورت لزوم یکتا نیست)

با این وجود گزاره درست از قرار زیر است:

هر دنباله در $\mathbb R$ که همگرا باشد کراندار است.

(به جای اعداد حقیقی میتوانید فضای متریک بگذارید)

اثبات: فرض کنیم $x_n\to x$. میخواهیم ثابت کنیم دنباله کراندار است. یادآوری میکنم که ما به دنبال عددی مثبت مانند $K$ میگردیم که قدرمطلق تمام جملات از آن کوچکتر باشند یعنی $|x_n|\leq K$ .

چون $ \lim_{n\to \infty}x_n=x $ به ازای هر $\epsilon>0$ از جمله $\epsilon=1$ عدد طبیعی $N$ موجود است که $$\forall n\geq N\implies |x_n-x|< 1$$ یعنی برای هر $n\geq N$ داریم: $|x_n|\leq |x|+1$

یعنی تمام جملات $x_N,x_{N+1}, x_{N+2},\cdots$ همگی از $|x|+1$ کوچکترند. پس فقط می ماند $x_1,x_2,\cdots ,x_{N-1}$ که نمیدانیم از $|x|+1$ کوچکترند یا نه. ولی می دانیم هرکدام از اینها از خودشان کوچکتر یا مساوی هستند پس چنانچه $K$ را هر عدد بزرگتر یا مساوی $\max\{|x|+1, |x_1|,|x_2|,\cdots , |x_{N-1}|\}$ در اینصورت برای هر $n$ داریم $|x_n|\leq K$ .

دارای دیدگاه توسط amirm20
–1
خیلی ممنون استاد بزرگوار‌ .
:  دنباله منفی یک به توان nرو در نظر بگیرید . حالا حد اینودو حالت دارد .واگر n زوج باشد یا فرد . که دو جواب مختلف یک و منفی یک میدهد یعنی همگرا نیست . ایا میتونیم نتیجه بگیریم که کراندار است یا باید به طریقی دیگر اثبات کنیم که کرانداره. ورهمچنین دنباله هایی شبیه همین.
دارای دیدگاه توسط fardina
+2
@amirm20
منظورتون زیر دنباله هست. یک دنباله ممکنه چندین زیردنباله همگرا داشته باشه ولی خودش همگرا نباشه. مثل مثالی که شما زدید که دو زیر دنباله همگرا دارد ولی خودش همگرا نیست. با این حال اگر توجه کنید جملات دنباله اصلی از اجتماع جملات دو زیر دنباله اش حاصل می شود و چون هر کدام از زیر دنباله ها همگرا هستند بنابر بحثی که در پاسخ داشتیم این زیر دنباله ها کراندارند و اجتماع دو مجموعه کراندار هم کراندار است. همین بحث رو میتونید برای دنباله هایی که چندین زیر دنباله همگرا دارند و این زیر دنباله ها تشکیل افرازی برای دنباله میدهند داشته باشید.
دارای دیدگاه توسط amirm20
–1
خیلی ممنونم :)
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
70 نفر آنلاین
0 عضو و 70 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3771
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712912
...