به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
2,988 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط Sisiliya
ویرایش شده توسط fardina

ثابت کنید فاصله ی نقطه $(x_1,y_1, z_1)$ از صفحه $ax+by+cz=d$ از فرمول

$$h=\frac{|ax_1+by_1+cz_1-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

به دست می آید.

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
لطفا راهنمای تایپ رو مطالعه کنید.
اثباتش در کتاب هندسه تحلیلی پیش دانشگاهیتون موجوده. در فهمیدن اثبات مشکلی دارید؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@fardina من به یاد دارم سال یکم دبیرستان آن را به ما گفتند. به ما اضافه‌تر گفته‌اند یا به تازگی منتقل شده‌است؟ البته چیز خاصی ندارد که نیاز به صبر کردن تا پیش‌دانشگاهی داشته‌باشد.
دارای دیدگاه توسط fardina
@AmirHosein
اون فاصله نقطه از خط بود. معادله صفحه رو در هندسه پیش میخونن.

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فرض کنید $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ نقطه ای از صفحه $\Gamma$ با بردار نرمال $n=(a, b, c)$ باشد. در اینصورت فاصله نقطه ی $P=(x_1,y_1,z_1)$ از این صفحه برابر است با $\frac{|n.P_0P|}{|n|}$ .

اما $P_0P=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$ لذا $$\begin{align}n.P_0P&=a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)+c(z_1-z_0)\\ &=ax_1+bx_1+cz_1-(ax_0+by_0+cz_0)\\ &=ax_1+bx_1+cz_1-d\end{align}$$

بنابراین این فاصله برابر است با: $\frac{|ax_1+by_1+cz_1-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

آقای @fardina از تصویر کردن استفاده کردند. روش دیگر این است که یک راست از خود تعریف فاصلهٔ نقطه از صفحه برویم.

فاصلهٔ یک نقطه از یک صفحه را چه چیزی تعریف می‌کنید؟ خط‌های زیادی از این نقطه می‌توانید بگذرانید، هر یک از این خط‌ها این صفحه را در نقطه‌ای قطع می‌کنند غیر از آنهایی که موازی می‌شوند. درازای پاره‌خط‌های تولید شده بوسیلهٔ این خط‌ها و نقطهٔ مورد نظر و نقطهٔ تلاقی با صفحه را در نظر می‌گیریم (برای خط‌های موازی اندازه را بینهایت بگیرید). کمترین درازا متعلق به خط عمود است. این اندازه را به عنوان فاصلهٔ نقطه‌مان از صفحه‌مان برداشتیم. پس خیلی راحت از تعریف برمی‌آید که برویم خط گذرا از این نقطه و عمود بر صفحه را پیدا کنیم و با صفحه تلاقی دهیم. آنگاه پرسش تبدیل می‌شود به یافتن فاصلهٔ بین دو نقطه که انتظار می‌رود پیش از پرداختن به بحث فاصلهٔ نقطه از صفحه به آن یعنی فاصلهٔ دو نقطه پرداخته‌باشید.

توجه کنید که زمانی‌که معادلهٔ یک صفحه را دارید بردار نرمال آن را نیز دارید. در واقع اگر معادلهٔ آن $ax+by+cz=d$ است آنگاه بردار نرمال آن $(a,b,c)$ است. نقطه‌مان را $A=(x_0,y_0,z_0)$ فرض کنید. چون می‌خواهیم خط‌مان موازی بردار نرمال صفحه شود کافیست بردار هادی خط را همان بردار نرمال صفحه برداریم. معادلهٔ خط گذرا از $A$ و عمود بر صفحه‌مان برابر می‌شود با $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}=t$ می‌توانید از متغیر کمکی $t$ استفاده نکنید ولی مقدار نوشتن‌ها و طول عباراتتان بیشتر می‌شود. پس توجه کنید که $t$ در اینجا تنها یک کمک‌کننده است.

اکنون خط را با صفحه قطع می‌دهیم. $$\begin{array}{l} x=at+x_0,y=bt+y_0,z=ct+z_0\\ a(at+x_0)+b(bt+y_0)+c(ct+z_0)=d\\ (a^2+b^2+c^2)t=d-ax_0-by_0-cz_0\\ t=\dfrac{d-ax_0-by_0-cz_0}{a^2+b^2+c^2} \end{array}$$ اکنون نقطهٔ $B$ برابر $(at+x_0,bt+y_0,ct+z_0)$ است که مقدار $t$ را در رابطهٔ آخر دادیم. توجه کنید که اگر متغیر کمکی $t$ را به کار نمی‌بردیم می‌بایست $y$ و $z$ را برحسب $x$ از فرمول خط درمی‌آوردیم و سپس در فرمول صفحه می‌گذاشتیم و یک معادله یک مجهول بر حسب $x$ حل می‌کردیم و سپس نقطهٔ $B$ را می‌دادیم که کمی نوشتن بیشتری می‌خواست.

به گام نهایی یعنی محاسبهٔ فاصلهٔ نقطهٔ $A$ و $B$ رسیدیم. $$\begin{array}{lll} |AB| & = & \sqrt{(x_0-at-x_0)^2+(y_0-bt-y_0)^2+(z_0-ct-z_0)^2}\\ & = & \sqrt{(a^2+b^2+c^2)t^2}\\ & = & \sqrt{\dfrac{(d-ax_0-by_0-cz_0)^2}{a^2+b^2+c^2}}\\ & = & \dfrac{|d-ax_0-by_0-cz_0|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{array}$$ که عبارت آخر به خاطر قدرمطلق فرقی با $\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ ندارد. بعلاوه توجه کنید که قدرمطلق به خاطر این است که فاصله را همواره مقداری نامنفی می‌گیریم پس زمانی که از یک عدد مجذور جذر گرفتیم برای فاصله فقط مقدار مثبت را پذیرفتیم.

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@AmirHosein
روش جالبی بود. من فرمول رو دانسته فرض کردم و فقط جاگذاری کردم(چون اثبات فرمول در کتابشون هست ولی به صورت فرمول خواسته شده در صورت سوال نیست. و من تشخیص دادم منورشون همین باشه. صفحه 43 این کتب رو ببینید: http://www.chap.sch.ir/books/3999 )
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@fardina سپاس از پیوند کتاب.
دارای دیدگاه توسط Sisiliya
+1
با تشکر فراوان که وقت گذاشته و جواب سوال مرا داده اید
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
55 نفر آنلاین
2 عضو و 53 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4272
بازدید دیروز: 4974
بازدید کل: 4852727
...