به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
312 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirabbas

سلام.

سوالم این است که تعبیر هندسی مشتق سوم یک تابع چیست؟ با توجه به مفهوم مشتق می توان آن را آهنگ تغییر تقعر معنی کرد. اما تغییر تقعر در نمودار تابع نشان گر چه چیزی است؟

مثلا نمودار تابع $\frac{1}{60}x^5 + \frac{1}{24}x^4 - \frac{1}{3}x^3$ به صورت زیر است:

enter image description here

در نمودار بالا نقاط قرمز رنگ ریشه های مشتق سوم تابع و نقاط سبز ریشه های مشتق دوم تابع هستند.حالا دقیقا چه اتفاقی در نقاط قرمز افتاده؟

سوال دومم اینه که درست است بگوییم تعداد فرورفتگی و برآمدگی های تابع یکی بیشتر از تعداد ریشه های مشتق سوم است؟

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@amirabbas به ریشهٔ ساده و تکراری، فرد و زوج بودن تکرار یک نقطه به عنوان ریشه فکر کنید.
دارای دیدگاه توسط amirabbas
+1
@AmirHosein
ممنون از راهنمایی. فکر کنم تقریبا فهمیدم. انگار اگه مشتق سوم در یک بازه مثبت باشه به این معنیه که تابع در اون بازه میخواد تحدب رو به تقعر تبدیل کنه.و برعکس اگه منفی باشه میخواد تقعر خودش رو به تحدب تبدیل کنه.پس اگر یک تابع در ابتدای بازه محدب باشد و مشتق سوم آن در آن بازه مثبت باشد سعی می کند تحدب خود را به تقعر تبدیل کند و اگر مشتق سوم تغییر علامت ندهد به یک نقطه ی عطف خواهیم رسید و تحدب به تقعر تبدیل می شود.برای مثال تابع  <math>$x^3$</math> در ابتدا محدب است اما چون مشتق سومش همواره برابر 6 است می خواهد تحدبش را به تقعر تبدیل کند و بعد از اینکه به نقطه عطف رسید مقعر شده و همینطور شدت تقعر خود را افزایش می دهد.
 اما درباره مرتبه ریشه های مشتق سوم می توان گفت اگر ریشه ی مشتق سوم ریشه ای از مرتبه فرد باشد در این ریشه تغییر علامت می دهد و روند تابع برای تغییر تقعر برعکس می شود که در این صورت حتما یک نقطه عطف بعد از آن وجود خواهد داشت.مثل تابع زیر که مشتق سوم آن در <math>$x=2$</math> ریشه ای از مرتبه 3 دارد.درابتدا مقعر است اما چون مشتق سومش قبل از <math>$x=2$</math> منفی است تقعر خود را به تحدب تبدیل می کند و وقتی به <math>$x=2$</math> رسید تصمیمش عوض شده و میخواهد تقعر را به تحدب تبدیل کند :
![enter image description here][1]

اما اگر ریشه ای از مرتبه زوج باشد تابع به روال سابق خودش ادامه میدهد.مثل تابع زیر که در <math>$x=2$</math> ریشه ای از مرتبه 4 دارد:
![enter image description here][2]
 به علاوه اگر مشتق سوم تابعی مانند <math>$x^2$</math> صفر باشد یعنی تابع هیچ تلاشی برای تغییر تقعر خود نمی کند.

در هر صورت به نظر می آید تشخیص ریشه مشتق سوم بر خلاف مشتق اول و دوم از روی نمودار مشکل است.



  [1]: http://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=9645820966674634621
  [2]: http://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=9198574390126393097
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@amirabbas صرفا جهت اینکه ممکن است پسین‌تر در جایی برایتان نیاز شود، خوب است بدانید که برخی ریشه‌های مشتق دوم را چه بخواهد سمت فرورفتگی نمودار تابع پیش و پس از آن تغییر کند چه نکند، نقطهٔ عطف می‌نامند و برخی دیگر مانند شما برای استفاده از لفظ نقطهٔ عطف شرط تغییر فرورفتگی (تقعر-تحدب) را نیز می‌افزایند. برای نمونه در خود صفحهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی می‌توانید ببینید که اشاره دارد که هندسه‌جبری‌کاران معمولا هر دوی undulation point و inflection point را inflection point می‌گویند. این هم نمونهٔ دیگری از بحث‌هایی شبیه بحث تابع و نگاشت.

پاسخ شما

از اینکه در فرستادن پاسخ با محفل ریاضی ایرانیان همکاری می‌کنید،سپاسگزاریم.
لطفا در صورت امکان پاسخ خود را با مرجع دهی کاملتر کنید.
اگر میخواهید اطلاعات بیشتری در مورد سوال یا پاسخ دیگری بگیرید به جای پاسخ دیدگاه بگذارید.

پيش‌نمايش:

نام شما برای نمایش - اختیاری
حریم شخصی : آدرس ایمیل شما محفوظ میماند و برای استفاده های تجاری و تبلیغاتی به کار نمی رود
کد امنیتی:
پایتخت ایران کدام شهر است؟
برای جلوگیری از این تایید در آینده, لطفا وارد شده یا ثبت نام کنید.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
33 نفر آنلاین
0 عضو و 33 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4219
بازدید دیروز: 4859
بازدید کل: 4862850
...