چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
96 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط mahdi1379
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

اگر n عدد طبیعی باشد ثابت کنید : $ \binom{n}{1}+2 \binom{n}{2}+3 \binom{n}{3}+...+n \binom{n}{n}=n \times 2^{n-1} $

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Under sky

واضح است که $$r \binom{n}{r} =n \binom{n-1}{r-1} $$

بنابراین $$\binom{n}{1}+2 \binom{n}{2}+3 \binom{n}{3}+...+n \binom{n}{n}=n\binom{n-1}{0}+n \binom{n-1}{1}+n \binom{n-1}{2}+...+n \binom{n-1}{n-1}=n \times 2^{n-1}$$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Taha1381

فرض کنید می خواهیم از $n$ نفر $r$ تا انخاب کنیم و یکی را رییس کنیم.برای این کار می توانیم روی $r$ حالت بندی کنیم که سمت چپ به دست می اید.اما می توانیم ابتدا رییس را انخاب کرده و سپس بگوییم که دیگر عضو ها می توانند باشند یا نباشند که جواب $n*2^{n-1}$ را می دهد پی دو طرف تساوی برابرند.البته برای اثبات جبری می توانید از بصط دو جمله ای استفاده کنید.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
77 نفر آنلاین
0 عضو و 77 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4731
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4713872
...