به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
98 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط mahdi1379
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

اگر n عدد طبیعی باشد ثابت کنید : $ \binom{n}{1}+2 \binom{n}{2}+3 \binom{n}{3}+...+n \binom{n}{n}=n \times 2^{n-1} $

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Under sky

واضح است که $$r \binom{n}{r} =n \binom{n-1}{r-1} $$

بنابراین $$\binom{n}{1}+2 \binom{n}{2}+3 \binom{n}{3}+...+n \binom{n}{n}=n\binom{n-1}{0}+n \binom{n-1}{1}+n \binom{n-1}{2}+...+n \binom{n-1}{n-1}=n \times 2^{n-1}$$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Taha1381

فرض کنید می خواهیم از $n$ نفر $r$ تا انخاب کنیم و یکی را رییس کنیم.برای این کار می توانیم روی $r$ حالت بندی کنیم که سمت چپ به دست می اید.اما می توانیم ابتدا رییس را انخاب کرده و سپس بگوییم که دیگر عضو ها می توانند باشند یا نباشند که جواب $n*2^{n-1}$ را می دهد پی دو طرف تساوی برابرند.البته برای اثبات جبری می توانید از بصط دو جمله ای استفاده کنید.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1397
بازدید دیروز: 5217
بازدید کل: 5002189
...