چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
145 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط تندا
ویرایش شده توسط saderi7

نمودار تابع $y=\sin(\tan^{-1}x) $ و خط به معادله $y=mx$ به ازای چه مقادیری از $m$ در سه نقطه مشترک هستند؟ سوال ریاضی 95 خارج

دارای دیدگاه توسط good4us
ویرایش شده توسط good4us
+3
https://www.geogebra.org/m/apzgKF7q
آیکون play را بزنید وبه تغییرات شیب بین صفر و یک توجه کنید
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
منظورتان از «خارج» دقیقا چه هست؟ منظورتان «آزمون اعزام به خارج دبیران» است؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@AmirHosein
فکر کنم منظور کنکور خارج کشور هست.

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط amirabbas
ویرایش شده توسط amirabbas

پاسخ ویرایش شد.

هدف این است که مقادیری از m را پیدا کنیم که به ازای آن ها معادله زیر دارای سه جواب است:

$$ mx = sin(tan^{-1}x) $$

بحث در مورد تعداد ریشه های توابع چند جمله ای بسیار آسان تر از توابعی مثل این تابع است.با ساده سازی طرف راست معادله آن را به یک معادله از چندجمله ای ها تبدیل می کنیم.

حاصل $tan^{-1}x$ کمانی است که تانژانت آن برابر با $x$ است.اگر نام این کمان را $\alpha$ بگذاریم می توان نوشت:

$$ tan\alpha = x $$ $$tan^{-1}x = \alpha$$

$$ sin(tan^{-1}x) = sin\alpha $$

از آن جایی که مقدار $tan\alpha$ را می دانیم می توانیم با کمک اتحاد زیر $sin\alpha$ را محاسبه کنیم:

$$ cot^2\alpha + 1 = \frac{1}{sin^2\alpha} $$ $$ cot\alpha = \frac{1}{x} $$ $$ cot^2\alpha +1 = \frac{1+x^2}{x^2} $$ $$ sin\alpha = \sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}} $$ $$ sin\alpha = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$

پس در حقیقت با معادله زیر طرف هستیم:

$$ mx = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$ $$ m = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $$

با توجه به بالا واضح است که m نمی تواند منفی یا صفر باشد

معادله زیر باید دو ریشه داشته باشد.

$$m^2x^2 + m^2 - 1 = 0$$

برای آن که معادله بالا دوریشه متمایز داشته باشد $\Delta$ آن باید مثبت باشد.می دانیم صفر یکی از سه نقطه اشتراک دو تابع است.دقت کنید چون مقدار m هرچه باشد صفر در معادله بالا صدق نمی کند پس این دوریشه مطمئنا صفر نخواهند بود.

$$ \Delta > 0 $$ $$ 4m^2(1-m^2) > 0 $$

پاسخ نامعادله بالا $-1 < m < 1$ است.

اما m نمی تواند صفر یا منفی باشد پس پاسخ برابر با $0 < m < 1$ است.

دارای دیدگاه توسط fardina
+2
@amirabbas
فکر میکنید در کجا اشتباه کردید؟
همواره داریم $$\sin(\tan^{-1}x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$ این را برابر $mx$ بگذاریم و آنطور که شما گفتید به پاسخ می رسیم.
دارای دیدگاه توسط amirabbas
@fardina
با توجه به جذر گرفتن از $x^2$ آیا x در عبارتی که نوشتید قدرمطلق نمی خواهد؟
دارای دیدگاه توسط amirabbas
@fardina
درسته. من یادم رفته بود این رابطه تو حسابان هست.ولی برای اثباتش در زمان جذرگیری نباید برای x قدرمطلق بذاریم؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+2
@amirabbas
نه قدرمطلق لازم نداره.
میتونید حالت هایی که $x$ مثبت یا منفی باشد درنظر بگیرید.
یعنی اگر $x>0$ آنگاه رابطه ای که نوشتم برقرار است حالا اگر $x<0$ در اینصورت رابطه ای که نوشتم رو برای $-x$ داریم و میتونیم منفی رو از طرفین خط بزنیم و باز به همون رابطه میرسیم.
دارای دیدگاه توسط fardina
+2
@amirabbas
در ضمن برای اثبات فرمول علاوه بر روش شما میتونیم از یک روش سریعتر استقاده کنیم. فرض کنید $x>0$ و مثلثی قائم الزاویه با اضلاع قائمه $x$ و $1$ تشکیل بدید در اینصورت وتر برابر است با $\sqrt{1+x^2}$
و زاویه روبرو به ضلع $x$ برابر است با $\tan^{-1}x$
در اینصورت $ \sin(\tan^{-1}x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
$
و برای $x<0$ رابطه بالارا برای $-x>0$ بنویسید و منفی ها را خط بزنید.
–3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Erfan.Sh.a.
ویرایش شده توسط saderi7

ببین آسونه، معکوس $\tan$ رو که احتمالا می‌دونی ... و وقتی میشه این $\sin(\tan^{-1}(x))$ نمودارش کمی به محور x نزدیک میشه. و $y=mx$ هم خط $y$ها و $x$ها رو شامل میشه فقط توی ی نقطه اشتراک دارن اونم یک هستش. $p(0.0)$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
102 نفر آنلاین
0 عضو و 102 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2265
بازدید دیروز: 12337
بازدید کل: 4533420
...