به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
76 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Mahmoud kian

فرض کنیم G=H*k تجزیه ای از گروه G به حاصلضرب مستقیم زیر گروه هایش باشد . ثابت کنید اگر G در شرط زنجیر صعودی (نزولی ) صدق کند آنگاه H,K نیز در شرط زنجیر صعودی (نزولی ) صدق میکنند .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط Mahmoud kian
 
بهترین پاسخ

بسیار ساده است. نکتهٔ پرسش این است که اگر $G$ حاصلضرب مستقیم دو زیرگروهش مانند $H$ و $K$ باشد آنگاه داریم $\dfrac{G}{H}\cong K$ و $\dfrac{G}{K}\cong H$. پس کافیست ثابت کنیم که $\dfrac{G}{K}$ و $\dfrac{G}{H}$ در شرط خواسته‌شده صدق می‌کنند. اثبات یکی کافیست زیرا دیگری به طریق مشابه صورت می‌گیرد. یک زیرگروه از $\dfrac{G}{K}$ به شکل $\dfrac{L}{K}$ است که $L$ زیرگروهی از $G$ و دربردارندهٔ $K$ است. پس اگر یک زیجیر افزایشی (صعودی) از زیرگروه‌های $\dfrac{G}{K}$ بردارم یعنی در واقع یک زنجیر افزایشی از زیرگروه‌های $G$ برداشته‌ام که $K$ را در برداند (و سپس خارج قسمت بر $K$ گرفته‌ام). اما بنا به فرض هر زنجیر افزایشی از زیرگروه‌های $G$ ایستاست. پس کار تمام می‌شود.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...