چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
248 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Traid
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

با سلام خدمت دوستان .

من سوالی دارم در مورد اعداد حیقیقی . اعداد حقیقی با اصول زیر تعریف میکنیم :

1-) اصول میدان

2-)اصول ترتیب

3-) اصل کمال .

با این اصول چگونه میشود ثابت کرد که مثلا $1+2=3$ و $3. \frac{1}{2}= \frac{3}{2} $ و بیشمار از این گزاره ها . آیا با این اصول میتوانیم چنین گزاره هایی را اثبات کرد ؟ اگر نه چه اصولی لازم است که بتوان این گزاره ها را اثبات کند . ؟ خیلی ممنون از سایت خوبتون

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+2
اشکال شما اینجاست که تعریف عددها برایتان جای نافتایده است. ۳ یک نماد است! کسر یک نماد است! مانند اینکه نوشتهٔ «رنگِ آسمان آبی است» یک نوشته متشکل از ۴ نماد است. اگر بخواهید ثابت کنید این جمله درست بوده‌است چه می‌کنید؟ اول می‌بینید آسمان چیست، بعد می‌بینید رنگِ یک چیزی یعنی چه، بعد می‌بینید آبی چه رنگی است و در آخر رنگِ آسمان و رنگ آبی را با هم مقایسه می‌کنید. اینجا هم از خودتان بپرسید ۳ و ۲ و ۱ چه هستند؟ ۱ یعنی یک واحد از یک چیزی. یک سیب، یک کیک. الآن برایتان یک واحد معنا دارد، یک واحد از همان چیز بردارید بگذارید کنارش، به تعداد این چیزهایی که جلویتان است نماد ۲ را نسبت می‌دهند. حالا من از شما می‌پرسم، اینکه ۲=۱+۱ به نظر شما اصلا نیازی به استفاده از هیچ یک از اصول بالا دارد یا اینکه خود تعریفِ نماد ۲ است؟ هر دو برابری دیگرتان نیز از همین روند هستند و تعریف نمادهای عددی‌تان است و هیچ احتیاجی به استفاده از اصول برای اثباتشان ندارید. بلکه بعد از اینکه نمادهایی که اعضای مجموعهٔ اعداد حقیقی هستند و نمادهایی که جمع و ضرب و تفریق و تقسیم و کوچکتری و بزرگتری را تعریف کردید تازه مجموعه و اعمالی دارید که حالا بحث می‌شود که اصول یادشده را دارند یا خیر؟ اگر بلی از آنها استفاده می‌کنید و جلو می‌روید.

یک زمان دیگر یک نماد برمی‌دارید مانند a. بعد می‌گویید گروه آبلی آزاد تولید شده بوسیلهٔ آن را برمی‌دارم می‌شود یک مجموعه‌ای از نمادها به همراه یک عمل. اگر اعداد صحیح را تعریف نشده فرض کنید نوشتن برایتان سخت می‌شود. در حالت عادی حاصل عمل a با خودش را با 2a نمایش می‌دهید ولی الآن برای همه چیز باید علامت جدید بردارید و زندگی سخت می‌شود. اما اگر فرض کنیم شما هنوز در مرحلهٔ پیش از فهمیدن نمادهای عددی زبان‌تان نمانده‌اید می‌دانید دوتا از یک چیزی را خلاصه با یک ۲ گذاشتن کنارش نمایش می‌دهند. پس ۲a. حالا اگر a، خود عدد یک باشد به نشر شما دو تا یک چیزی غیر از دو است؟ پس اعضای گروه آبلی آزاد تولید شده بوسیلهٔ عدد ۱، می‌شود مجموعهٔ اعداد صحیح به همراه عمل جمع. به همین شکل بروید جلو میدان مرتب کامل آزاد تولید شده بوسیلهٔ ۱، مجموعهٔ اعداد حقیقی به همراه اصل‌های یادشده می‌شود. واقعا اینکه بگوئید با کمک این اصول ۱+۲=۳ را ثابت کنید، پرسش بی‌معنایی است. چون ۱+۲=۳ برمی‌گردد به معنای ۱ و ۲ و۳! ۳ ضربدر یک‌دوم می‌شود سه دوم نیز همین‌گونه. شما اگر عمل ضرب و معنای کسر را فهمیده‌باشید اینکه $3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ را نیز می‌فهمید و ثابت کردنش از تعریف ضرب و تقسیم استفاده می‌کند نه از اینکه یک اصولی برقرار باشند.
دارای دیدگاه توسط Traid
@ AmirHosein
خیلی متشکر از دیدگاه . درواقع الان شما میفرمایید که $3=1+2$ یک تعریف است و با نماد $3$ نمایش میدهیم ؟ و برای غیره هم همینطور ؟
پس این اصول پئانو برای اعداد و ددکسند برای اعداد برای چیه تو چه زمینه ایی کاربرد دارند ؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
هر چیزی سر جای خودش کاربرد دارد و هیچ چیزی بی‌دلیل در ریاضیات گفته نمی‌شود ولی کاربرد آن این‌هایی که می‌گوئید مانند اثبات کردن تعریف نماد ۳ نیست. مثلا وقتی دارید از اینکه هر دنبالهٔ کراندار از اعداد حقیقی دارای یک زیردنبالهٔ کراندار است استفاده می‌کنید در واقع از کامل بودن میدان مرتب اعداد حقیقی استفاده می‌کنید! یا زمانی‌که برای جمع بیشتر از دو عدد حقیقی پرانتزگذاری نمی‌کنید، دارید از شرکت‌پذیر بودن عمل جمع و اعداد حقیقی استفاده می‌کنید. به نظر شما همهٔ دنباله‌های کراندار در اعداد گویا دارای زیردنباله‌ای همگرا هستند؟ یا اینکه نوشتن ضرب خارجی بیشتر از دو بردار بدون پرانتزگذاری و اولویت‌گذاری معنادار است؟

پاسخ شما

از اینکه در فرستادن پاسخ با محفل ریاضی ایرانیان همکاری می‌کنید،سپاسگزاریم.
لطفا در صورت امکان پاسخ خود را با مرجع دهی کاملتر کنید.
اگر میخواهید اطلاعات بیشتری در مورد سوال یا پاسخ دیگری بگیرید به جای پاسخ دیدگاه بگذارید.

پيش‌نمايش:

نام شما برای نمایش - اختیاری
حریم شخصی : آدرس ایمیل شما محفوظ میماند و برای استفاده های تجاری و تبلیغاتی به کار نمی رود
کد امنیتی:
برای جلوگیری از این تایید در آینده, لطفا وارد شده یا ثبت نام کنید.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
93 نفر آنلاین
0 عضو و 93 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3663
بازدید دیروز: 8256
بازدید کل: 4498786
...