چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
98 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Taha1381

تمام اعداد طبیعی را بیابید که $b^a=a^{b^2}$.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط A Math L
انتخاب شده توسط Taha1381
 
بهترین پاسخ

اگر $a=b$ نتیجه میشود $a=b=1$

اگر $a>b$ بزرگ ترین $n$ طبیعی را پیدا میکنیم که $x$ طبیعی وجود داشته باشد که $a=b^nx$ ( $x$ بر $b$ بخش پذیر نیست ) با جایگذاری در معادله خواهیم داشت :

$$x^{b^2}=b^{b^nx-nb^2}$$ اگر $x=1$ باشد . $n$ را برابر $1$ تا $4$ قرار دهیم پاسخ های $a=27 ، b=3 ,,, a=16، b=2$ یدست آید . با استقرا میتوان ثابت کرد برای $n$ های بزرگتر $b^{n-2}>n+1$ خواهد بود .

اگر$x>1$ باشد به راحتی معلوم میشود $a>1$ وجود دارد که $x^a=b$ پس باید $b^nx-b^2n-b^2<0$ باشد یعنی $b^{n-2}x<n+1$ چون $x$ و $b$ هر دو بزرگتر از یک هستند پس $n=x=2$ (برای $n$ های بزرگتر با استقرا میتوانیم ثابت کنیم نامساوی جواب ندارد ) که با جایگذاری در $x^{b^2}=b^{b^nx-nb^2}$ نتیجه میدهد $b=0$

اگر $b>a$ باشد هم به همین صورت میتوان فهمید جوابی نخواهیم داشت .

دارای دیدگاه توسط Taha1381
از کجا فهمیدید که اگر $a>b$ انگاه $b \mid a$؟
دارای دیدگاه توسط A Math L
در $a^x=b^y$ فرض میکنیم $a>b$ ، $a$ و $b$ را به عوامل اول تجزیه میکنیم . (عوامل اول $a$ و $b$ یکسان اند و فقط توان های متفاوتی دارند ) اگر $a= q_{1} ^ {c_{1}} . q_{2} ^{ c_{2} }... q_{n} ^ {c_{n}} $ و $b= q_{1}^{ d_{1} } ... q_{n}^{ d_{n} } $ نتیجه میشود

 $q_{1} ^ {c_{1}x} . q_{2} ^{ c_{2}x }... q_{n} ^ {c_{n}x}=q_{1}^{ d_{1}y } ... q_{n}^{ d_{n}y }$

حال میتوان فهمید نسبت توان ها برابر است (یعنی مثلا $ \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{d_{1}}{ d_{2} } $ ) پس اگر یکی از توان های عوامل $a$ بیشتر از توان همان عامل در $b$ باشد همه توان های عوامل $a$ بیشتر از توان های عوامل $b$ خواهد بود . چون $a>b$ پس چنین میباشد .
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
53 نفر آنلاین
0 عضو و 53 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4203
بازدید دیروز: 5680
بازدید کل: 4670584
...