به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
77 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط Traid
ویرایش شده توسط fardina

سلام ممنون میشم سوال زیر را حل کنید :

فرض کنید $a,b,c$ اعداد حقیقی باشند و $a< 3$ وهمه ریشه های $ p(x)=x^3+ax^2+bx+c$ منفی باشند . آنگاه ثابت کنید که : $b+c\neq4$

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
انتخاب شده توسط Traid
 
بهترین پاسخ

ابتدا تمام ریشه ها را به صورت $x_i$ نمایش میدهیم و چون منفی هستند .$-x_i$ مثبت است و تعریف میکنیم :$y_i:=-x_i$

حال استفاده میکنیم از Vieta's formulas :

$$y_1+y_2+y_3=\dfrac{a}{1}=a \in(0,3)\tag{1}$$ $$y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1=\dfrac{b}{1}=b\tag{2}$$ $$y_1\cdot y_2\cdot y_3=\dfrac{c}{1}=c\tag{3}$$

به دنبال آن هستیم که بتوانیم بین پارامترا ها رابطه برقرار کنیم .

  • ابتدا استفاده میکنیم از :
$$y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1 \leq y_1^2+y_2^2+y_3^2 $$
  • سپس استفاده میکنیم از AM-GM :
$$\dfrac{y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1}{3}\geq\sqrt[3]{y_1y_2\cdot y_2y_3\cdot y_3y_1}$$

با توجه به تساوی $(2),(3),(1)$ خواهیم داشت :

$$b\leq (a)^2-2(b) \Leftrightarrow 3b \leq a^2 \Leftrightarrow b <3 \Leftrightarrow b^3<27\tag{5}$$

$$\dfrac{b}{3}\geq \sqrt[3]{c^2} \Leftrightarrow c^2 \leq \dfrac{b^3}{27} \Rightarrow c\leq \sqrt{ \dfrac{b^3}{27} } \tag{6}$$

در نتیجه از $(5),(6)$ داریم :

$$0<b<3$$

$$ 0<c \leq \delta \in (0,1) $$

$$0<b+c\leq 3+ \delta \Rightarrow b+c\in(0,4)$$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...