به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
36 بازدید
ارسال شده خرداد ۳, ۱۳۹۶ در مطالب ریاضی توسط saderi7
ویرایش شده خرداد ۱۱, ۱۳۹۶ توسط saderi7

میخواهیم چند تا از انتگرال های آشنا رو باهم حل کنیم .

$$\text{Question1}: \ \ \ \int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+a^2} }dx=? \ \ \ a\in \mathbb{R} $$
$$ I=\int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+a^2} }dx \tag{1}$$

ابتدا متغییر را تغییر میدهیم :

$$x=a\tan t \to dx=a\sec^2t dt$$

باز سازی انتگرال :

$$ I=\int \dfrac{a\sec^2t }{ \sqrt{a^2\tan^2 t+a^2} }dt=\int \dfrac{\sec^2t}{\sqrt{\tan^2 t+1} }dt$$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده میکنیم :

$$\tan^2t+1=\sec^2 t$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ I=\int \dfrac{\sec^2t }{ \sec t }dt= \int \sec t dt=\ln (|\tan t+\sec t|)+k$$

از $ (1)$ داریم :

$$x=a\tan t \to \tan t =\dfrac{x}{a}$$ $$\sec t=\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ I= \ln (|\tan t+\sec t|)+k=\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a})+k$$

از خاصیت لگاریتم استفاده میکنیم :

$$\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a})+k=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})-\ln(a)+k$$ $$-\ln(a)+k=c$$
$$\text{Answer 1}: \ \ \ I=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+c$$

$$\text{Question2}: \ \ \ \int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-a^2} }dx=?\ \ \ a\in \mathbb{R} $$
$$ J=\int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-a^2} }dx \tag{1}$$

ابتدا متغییر را تغییر میدهیم :

$$x=a\sec t \to dx=a\sec t. \tan t dt$$

باز سازی انتگرال :

$$ J=\int \dfrac{a\sec t .\tan t }{ \sqrt{a^2\sec^2 t-a^2} }dt=\int \dfrac{a\sec t.\tan t}{\sqrt{a^2 \tan^2 t} }dt$$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده میکنیم :

$$\tan^2t+1=\sec^2 t$$ $$\sec^2 t-1=\tan^2 t$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ J=\int \dfrac{a\sec t.\tan t}{\sqrt{a^2 \tan^2 t} }dt= \int \sec t dt=\ln (|\sec t+\tan t|)+k$$

از $ (1)$ داریم :

$$x=a\sec t \to \sec t =\dfrac{x}{a}$$ $$\tan t=\dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ J= \ln (|\sec t+\tan t|)+k=\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a})+k$$

از خاصیت لگاریتم استفاده میکنیم :

$$\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a})+k=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})-\ln(a)+k$$ $$-\ln(a)+k=c$$
$$\text{Answer 2}: \ \ \ J=\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+c$$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی
تلگرام محفل ریاضی
66 نفر آنلاین
2 عضو و 64 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3845
بازدید دیروز: 5659
بازدید کل: 5021737
...