چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
553 بازدید
ارسال شده خرداد ۱۱, ۱۳۹۶ در مطالب ریاضی توسط saderi7
$$\text{Question1}: \ \ \ \int \dfrac{\sin(x)}{\sin (x+a)} dx=? \ \ \ \ a\in \mathbb{R}$$

ابتدا تعریف میکنیم :

$$ I:=\int \dfrac{\sin(x)}{\sin (x+a)} dx $$

کاری میکنیم که کمان سینوس در مخرج $(x+a)$ در صورت ایجاد شود یعنی :

$$x:=(x+a)-a$$

حال انتگرال را بازسازی میکنیم :

$$ I=\int \dfrac{\sin \big((x+a)-a\big) }{\sin (x+a)} dx $$

از اتحاد مثلثاتی داریم :

$$\sin(p-q)=\sin p\cos p-\cos p\sin q$$

در نتیجه :

$$ I=\int \dfrac{\sin (x+a)\cos a-\cos (x+a)\sin a}{\sin (x+a)} dx $$ $$ I=\int \cos a-\sin a\cot(x+a) dx $$ $$ I=\cos a\int dx -\sin a \int\cot(x+a) dx $$

در پایان خواهیم داشت :

$$\text{Answer 1} :\ \ \ I=x\cos a-(\sin x)\ln |\big(\sin (x+a)\big)| +c$$

$$\text{Question2}: \ \ \ \int \dfrac{\sin(x-a)}{\cos(x+a)} dx=? \ \ \ \ a\in \mathbb{R}$$

ابتدا تعریف میکنیم :

$$ I:=\int \dfrac{\sin(x-a)}{\cos (x+a)} dx $$

کاری میکنیم که کمان کسینوس در مخرج $(x+a)$ در صورت ایجاد شود یعنی :

$$x-a:=(x+a)-2a$$

حال انتگرال را بازسازی میکنیم :

$$ I=\int \dfrac{\sin \big((x+a)-2a\big) }{\cos (x+a)} dx $$

از اتحاد مثلثاتی داریم :

$$\sin(p-q)=\sin p\cos p-\cos p\sin q$$

در نتیجه :

$$ I=\int \dfrac{\sin (x+a)\cos 2a-\cos (x+a)\sin 2a}{\cos (x+a)} dx $$ $$ I=\int \big(\tan (x+a)\big) \cos 2a -\sin 2adx $$ $$ I=\cos 2a\int \big(\tan (x+a)\big) dx -\sin 2a \int dx $$

در پایان خواهیم داشت :

$$\text{Answer 2} :\ \ \ I=\cos 2a \big(\ln |\big(\sec (x+a)\big)|\big) -x\sin 2a+c$$

تمرین : انتگرال های زیرا بدست بیاورید ( روش همان روش قبلی است )

$$\text{Question3}: \ \ \ \int \dfrac{\sin (x-a)}{\sin(x-b)} dx=? \ \ \ \ a,b\in \mathbb{R}$$

$$\text{Question4}: \ \ \ \int \dfrac{1}{\sin (x-a)\cos(x-b)} dx=? \ \ \ \ a,b\in \mathbb{R}$$

$$\text{Question5}: \ \ \ \int \dfrac{1}{\cos (x+a)\cos(x+b)} dx=? \ \ \ \ a,b\in \mathbb{R}$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی
65 نفر آنلاین
0 عضو و 65 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2491
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673950
...