به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
790 بازدید
ارسال شده خرداد ۲۵, ۱۳۹۶ در مطالب ریاضی توسط saderi7
ویرایش شده شهریور ۲۷, ۱۳۹۶ توسط saderi7

$\newcommand*{\boxcolor}$ $\require{cancel}$

$$\large\mathscr{IN THE NAME OF \color{teal}{ ALLAH} }$$

تعاریف توان : $${\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}} \big) \ : {{r}^{\color{teal}{n}} }{}:=\begin{cases} r & n=1 \\ \big(r^{n-1}\big)\cdot r & n\neq 1 \end{cases}}} \tag{Def 1}$$

حالت خاص :

در صورتی که $n=2$ : مربع عدد $(r)$ یا مجذور عدد $(a)$ گوییم .

در صورتی که $n=3$ : مکعب عدد $(r)$ گوییم .


حال میخواهیم عبارت توانی را بسط بدهیم طوری که عبارت توانی صفر هم داشته باشیم . برای این عمل به تعریف قبلی رجوع میکنیم .

تعریف کردیم که اگر $n\neq 1$ باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$r^n=(r^{n-1})\cdot r$$

اگر $n= 1$ قرار دهیم . عبارت توانی صفر ایجاد میشود . یعنی :

$$r^1=(r^{0})\cdot r$$

اما ما تعریف کردیم که اگر $n= 1$ باشد . آنگاه :

$$r^1= r$$

بنابراین باید عبارت توانی صفر را به صورت زیر تعریف کنیم :

$${\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}\backslash \color{teal}{\{0\}}} \big) :{r}^{\color{teal}{ {}0}}:=1}}\tag{Def 2} $$

باز هم علاقمند هستیم که عبارت توانی را بسط دهیم طوری که عبارت توانی صحیح منفی هم داشتته باشیم برای این عمل باز هم به تعاریف قبلی رجوع میکنیم . تعریف کردیم که اگر $n\in \mathbb{N}$ باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$r^n=(r^{n-1})\cdot r$$

اگر $n= 0$ قرار دهیم . عبارت توانی منفی یک ایجاد میشود . یعنی :

$$r^0=(r^{-1})\cdot r$$

بنابراین باید عبارت توانی منفی یک را به صورت زیر تعریف کنیم :

$${\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}\backslash \{0\}} \big) :{r}^{\color{teal}{\large {}-1}}:=\dfrac{r^0}{r}=\dfrac{1}{r}}}\tag{Def 3} $$

به عنوان اصل میپذیریم که :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}\backslash \{0\}},n\in \mathbb{N} \big) :{r}^{\color{teal}{\large {}-n}}:=\big(r^{-1} \big)^n}}\tag{Axiom 1} $$

اگر عبارت $ \Large{x^{\color{red}{y}}} $ در یکی تعاریف $(1,2,3)$ صدق کند آنگاه :

$\checkmark $ عبارت $\Large{x^{\color{red}{y}}}$ را عبارت توانی صحیح گوییم .


با توجه به وجود ریشه $n$اُم خواهیم داشت :

  • به ازای هر عدد حقیقی و نامنفی $a \geq 0 \in \mathbb{R}$ و هر عدد طبیعی $2n : n \in \mathbb{N}$

    وجود دارد یک عدد حقیقی نامنفی یکتا $r \geq 0 \in \mathbb{R}$ به طوری که :

$$r^{\large{(2n)}}=a$$

تعریف:

عدد حقیقی نامنفی و یکتا $r$ را ریشه $(2n)$اُم اصلی عدد حقیقی نامنفی $a$ گوییم .

و به صورت زیر نمایش میدهیم :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{ \sqrt[\color{teal}{\LARGE{2n}}]{{a}}:=r}}\tag{Def 4} $$

بخوانید:

$\large{\sqrt[\color{teal}{\LARGE{2n}}]{{a}}}$ :

$\checkmark $ رادیکالِ $(a)$ به فرجهِ $(2n)$

حالت خاص :

در صورتی که $n=1$ :

جذر عدد $(a)$ یا رادیکال عدد$(a)$ گوییم و از نوشتن فرجه خودداری میکنیم .

$\checkmark $ ریشه $(2n)$ اُم اصلی عدد حقیقی نامنفی $(a)$


به عنوان اصل میپذیریم که :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{ \sqrt[\color{teal}{\LARGE{2n}}]{{a}}:=a^{\large{1/(\color{red}{2n})}}=r}}\tag{Axiom 1} $$
  • به ازای هر عدد حقیقی و مثبت $r > 0\in \mathbb{R}$ و هر عدد طبیعی $2n:n\in \mathbb{N}$

    وجود دارد یک عدد حقیقی منفی یکتا $r < 0\in \mathbb{R}$ به طوری که :

$$r^{\large{(2n)}}=a$$

تعریف:

عدد حقیقی منفی و یکتا $r$ را ریشه $(2n)$اُم فرعی عدد حقیقی مثبت $a$ گوییم .

تذکر:

در این حالت برای $r$ نمایش ریاضی نداریم !


  • به ازای هر عدد حقیقی $a\in \mathbb{R}$ و هر عدد طبیعی $2n-1:n\in \mathbb{N}$

    وجود دارد یک عدد حقیقی یکتا $r \in \mathbb{R}$ به طوری که :

$$r^{\large{(2n-1)}}=a$$

تعریف:

عدد حقیقی و یکتا $r$ را ریشه $(2n-1)$اُم عدد حقیقی $a$ گوییم .

و به صورت زیر نمایش میدهیم :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{ \sqrt[\color{teal}{\LARGE{2n-1}}]{{a}}:=r}}\tag{Def 5} $$

بخوانید :

$\large{\sqrt[\color{teal}{\LARGE{2n-1}}]{{a}}}$ :

$ \checkmark $ رادیکالِ $(a)$ به فرجهِ $(2n-1)$

$ \checkmark $ ریشه $(2n-1)$ اُم عدد حقیقی $(a)$


به عنوان اصل میپذیریم که :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{ \sqrt[\color{red}{\LARGE{2n-1}}]{{a}}:=a^{\large{ 1/(\color{teal}{2n-1})}}=r}}\tag{Axiom 2} $$

اگر عبارت $\Large{x^{\color{red}{y}}}$ در یکی از تعاریف $(4,5)$ صدق کند آنگاه :

$\checkmark $ عبارت $\Large{x^{\color{red}{y}}}$ را عبارت رادیکالی گوییم .


به عنوان اصل میپذیریم که :

اگر :

$a^{\color{teal}{m}} \ \ \ \checkmark$ عبارت توانی صحیح باشد .

$a^{\large{1/(\color{teal}{n})}} \ \ \ \checkmark$ عبارت رادیکالی باشد .

آنگاه :

$$\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{\large{\big(a^{\large{1/(\color{teal}{n})}}\big)^m=\big( a^m\big)^{\large{1/(\color{teal}{n})}}=a^{\large{m/(\color{teal}{n})}}}}\tag{Axiom 3} $$

[قضیه][2] پیشنهادی برای تعمیم توان به ما میدهد :

$$ \bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall\ a > 1 ,x\in \mathbb{R}}\big)}$$

$$ \bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{a^{\color{teal}{x}}:=\color{teal}{\sup} \ \{a^r;r\in \mathbb{Q}, r<\color{teal}{x} \}=\color{teal}{\inf} \ \{a^r;r\in \mathbb{Q}, r>\color{teal}{x} \}}\tag{Def 6} $$

حال اگر $b\in (0,1)$ باشد آنگاه $\dfrac{1}{b} > 1$ تعریف میکنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{b^{\color{teal}{x}}:=\big(\dfrac{1}{b}\big)^{\color{teal}{-x}}}\tag{Def 7}$$

و تعریف میکنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x\in \mathbb{R}}\big) \ \ {(1)^{\color{teal}{x}}:=1}}\tag{Def 8}$$

و همچنین :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x\in \mathbb{R}^+}\big) \ \ {(0)^{\color{teal}{x}}:=0}}\tag{Def 9}$$

هر عبارت به صورت $\Large{x^\color{teal}{y}}$ را عبارت توانی استاندارد گوییم اگر در یکی از تعاریف$(1,2,3,...,9)$ صدق کند .


حال اگر $\Large{x^\color{teal}{n}},x^\color{teal}{m},y^\color{teal}{n}$ عبارت توانی استاندارد باشند .

آنگاه خواهیم داشت :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{x}^{\color{teal}{(n+m)}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({x}^{\color{teal}{m}})}}\tag{Law}$$ $$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{(x\cdot{y})}^{\color{teal}{n}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({y}^{\color{teal}{n}})}}\tag{Law}$$ $$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{(x^{\color{red}{m}})}^{\color{teal} {n}}={(x^{\color{teal}{n}})^{\color{red}{m}}}={x}^{(\color{teal}{n}\ \cdot \ \color{red}{m})}}}\tag{Law}$$
$$\large\mathscr{SADEGH \color{teal}{SADERI} MEHRAN}$$
دارای دیدگاه شهریور ۲, ۱۳۹۶ توسط saderi7
ویرایش شده شهریور ۲, ۱۳۹۶ توسط saderi7
با سلام خدمت همه دوستان و عزیزان محفل ریاضی .
با توجه به اینکه سولات در مورد توان و رادیکال خیلی زیاد هست . و هنوزم سوالات تکراری زیادی در این مورد میشه . بر خودم لازم دونستم که مبحثو کامل و با اصل موضوع بنویسم . تا تمام مشکلات حل شود .
در این پست با اصطلاحات جدیدی برخورد میکنید که در هیچ کتابی نیست . و تاحالا بیان نشده .برای راحتی و به خاطر سپردن این اصطلاحاتو نوشتم. و تعاریف هم جدید هستند . سعی کنید چند بار بخونید . و بعد تو همین محفل سوالات توان و رادیکال رو  رو بررسی کنید و جواب بدید .
و در اخر . این مطلب از هیچ کتاب و منبعی گرفته نشده . و همه مطلب توسط بنده (صادق صادری مهران )  نوشته شده . پس فقط با ذکر منبع میتوانید نشر کنید . و به دانش اموزانتون و یا دوستانتون منتقل کنید .
موفق و پیروز باشید .
یاعلی  .
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی
تلگرام محفل ریاضی
66 نفر آنلاین
2 عضو و 64 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3852
بازدید دیروز: 5659
بازدید کل: 5021744
...