چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
95 بازدید
ارسال شده خرداد ۲۹, ۱۳۹۶ در مطالب ریاضی توسط saderi7
ویرایش شده مهر ۱, ۱۳۹۶ توسط saderi7

با توجه به $(\text{Axiom 3})\checkmark$ توانستیم عبارت توانی گویا را بسازیم .

$\checkmark$ به عنوان اصل پذیرفتیم که :

اگر :

$a^{\color{teal}{m}} \ \ \ \checkmark$ عبارت توانی صحیح باشد .

$ a^{\large{1/(\color{teal}{n})}} \ \ \ \checkmark $ عبارت رادیکالی باشد .

آنگاه :

$$\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{\large{\big(a^{\large{1/(\color{teal}{n})}}\big)^m=\big( a^m\big)^{\large{1/(\color{teal}{n})}}=a^{\large{m/(\color{teal}{n})}}}=a^{\color{teal}{r}}: \color{teal}{r} \in \mathbb{Q}} $$

میخواهیم عبارت توانی را بسط بدهیم به طوری که عبارت توانی گنگ هم داشته باشیم .

ابتدا حالت اول یعنی عبارت توانی گنگ با پایه یک را تعریف میکنیم .

قضیه زیر :

اگر $1^{r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \ {(1)^{\color{teal}{r}}:=1}}\tag{Law1}$$

به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه یک را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\big) \ \ {(1)^{\color{teal}{x}}:=1}}\tag{Def 6}$$

حالت دوم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه صفر را تعریف میکنیم .

قضیه زیر :

اگر $0^{r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \ \ {(0)^{\color{teal}{r}}:=0}}\tag{Law2}$$

به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه صفر را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x > 0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\big) \ \ {(0)^{\color{teal}{x}}:= 0}}\tag{Def 7}$$

حالت سوم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a > 1}$ را تعریف میکنیم .

قضیه زیر :

فرض کنید $\color{red}{a > 1} \in \mathbb{R} \ , \ x \in \mathbb{R}$ و دو مجموعه $\mathbb{Q}_{ > x} \ , \ \mathbb{Q}_{ < x }$ را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\mathbb{Q}_{ < x}:= \{r \in \mathbb{Q} , r < x \} \ \ , \ \ \mathbb{Q}_{ > x}:=\{r \in \mathbb{Q} , r > x\} $$

و همچنین تعریف کنیم :

$$ s_x =\color{teal}{\text{sup}}_{ r \in \mathbb{Q}_{ < x}} a^{r} \ , \ i_x =\color{teal}{\text{inf}}_{r \in\mathbb{Q}_{ > x}} a^{r} $$

آنگاه خواهیم داشت :

$$ s_x=i_x$$

به علاوه اگر $ x \in \mathbb{Q} $ باشد خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{s_x=i_x=\color{red}{a}^x}$$

به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a > 1}$ را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \forall a>1 \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} : s_x=i_x:=\color{red}{a}^x}\tag{Def 8}$$

حالت چهارم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{0 < a < 1}$ را تعریف میکنیم .

قضیه زیر : اگر $a^{-r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ a^{\color{teal}{-r}}=\big(\dfrac{1}{a}\big)^\color{teal}{r}}\tag{Law 3} $$

به ما پیشنهاد میدهد که تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big( \forall a > 0\in \mathbb{R} , x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\big) : a^{\color{teal}{-x}}:=\big(\dfrac{1}{a}\big)^\color{teal}{x}}\tag{Def 9} $$

حال اگر $b\in (0,1)$ باشد آنگاه $\dfrac{1}{b} > 1$ . در نتیجه با استفاده از تعریف $( 8,9)$ میتوانیم عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{0 < a < 1}$ را از قانون زیر بدست بیاوریم .

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{b^{\color{teal}{x}}=\big(\dfrac{1}{b}\big)^{-x}}\tag{Law 4}$$

حالت پنجم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a < 0}$ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی
96 نفر آنلاین
0 عضو و 96 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 6186
بازدید دیروز: 8291
بازدید کل: 4283872
...