به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
309 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

لطفا رابطه مثلثاتی زیر را اثبات کنید.

فرض کنید :$a,b \in\mathbb{R^{>0}}$

$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \tan^{-1}(\frac{b}{a}))$$
دارای دیدگاه توسط
@fardina
با روشی که گفتید اثبات شد.علامت A , B شرط خاصی نداره.میتونن منفی باشن. در واقع این رابطه تعمیم این اتحاده:

$$ sinx + cosx = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) $$
دارای دیدگاه توسط
بجای sin بنویسید \sin که دارای نمایشهای $sin$ و $\sin$ هستند.
ولی من گمان میکنم برای منفی ها درست باشه مثلا وقتی $a=b=-1$ و $x=90$
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
@fardina
برای مثال وقتی $b=-1, a=1$ باز هم درسته. انگار وقتی a , b هر دو منفی باشن نادرسته.
دارای دیدگاه توسط
@fardina

فکر کنم a قدر مطلق نیاز داشته باشه.
$$\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha) = |a|(\sin{x} + \frac{b}{a}\cos{x})$$
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
یکی مثبت و یکی منفی هم درست نیست مثلا $a=-1$ و $b=\sqrt 3$ در اینصورت با زاویه $x=90$ برابری ایجاد نمیشه.
ولی اگر $a>0$ رابطه برقراره. یعنی میتونیم فقط شرط بزاریم که $a$ مثبت باشه و یا اینکه به قول شما $a$ رو با قدرمطلق بزاریم و شرطی نزاریم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط
$$ \beta = \tan^{-1}(\frac{b}{a}) $$

می دانیم:

$$\sin(\tan^{-1}(\frac{b}{a})) = \frac{\frac{b}{a}}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}} $$ $$\cos(\tan^{-1}(\frac{b}{a})) = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}} $$

عبارت $\sin(x + \alpha)$ را بسط می دهیم.

$$ \sin(x+\beta) = \sin{x}\cos{\beta} + \sin{\beta}\cos{x} $$ $$\sin(x+\beta) = \frac{|a|(\sin{x} + \frac{b}{a}\cos{x})}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

و در آخر:

$$ \sqrt{a^2+b^2}\sin(x + \beta) = |a|(\sin{x} + \frac{b}{a}\cos{x}) $$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...