به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
137 بازدید
در دبیرستان توسط Taha1381
ویرایش شده توسط Taha1381

برای چند زوج مرتب $(a,b)$ از اعداد طبیعی که $1 \le a,b \le 10$ معادله $x^2=ax-b$ ریشه ای در بازه $[0,1 ]$ دارد ؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط amirabbas
انتخاب شده توسط Taha1381
 
بهترین پاسخ

اگر داشته باشیم:

$$ f(x) = x^2 - ax + b $$

بر طبق قضیه بولزانو اگر $f(0)f(1) \leq 0$ آنگاه معادله $f(x) = 0$ ریشه ای در بازه $[0, 1]$ دارد.

$$ f(0) = b $$ $$ f(1) = b-a+1 $$ $$ (b-a+1)(b) \leq 0 $$

برای برقراری نامساوی بالا باید یکی مثبت و دیگری منفی باشد. با توجه به محدوده انتخاب a , b اگر نامساوی زیر برقرار باشد معادله پاسخی در بازه موردنظر دارد.

$$ b \leq a-1 $$

تعداد زوج مرتب هایی که در نامساوی بالا صدق می کنند برابر است با $\sum^{10}_{i=2}(i-1) = 45$

البته اگر ریشه مورد بحث ما مضاعف باشد با قضیه بولزانو نمی توانیم به وجود آن پی ببریم.پس باید زوج مرتب هایی که به ازای آن ها $a^2 - 4b = 0$ برقرار است را بررسی کنیم.

$$ \lbrace (2, 1), (4, 4), (6, 9) \rbrace $$

تنها به ازای $(2, 1)$ معادله ریشه ای در بازه موردبحث دارد و البته چون در $b \leq a-1$ صدق می کند در مراحل قبلی آن را حساب کرده ایم. پس تعداد زوج مرتب های موردبحث ما 45 است.

توسط Taha1381
+1
فکر کنم نامساوی اکید نباشد.
توسط amirabbas
هدف اینه که هم علامت نباشن پس باید اکید باشه.
توسط amirabbas
@Taha1381
درست میگید حواسم نبود میتونه اکید نباشه. ویرایشش می کنم.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...