تابع زیر را در نظر میگیریم :
$$f:(-1,+1)\to \mathbb{R}\\ f(x):=\dfrac{x}{1-x^2}\tag{1}$$
همان طور که تعریف شده دامنه برابر است با $(-1,+1)$ یعنی محدوده $x$
برابر است :
$$ -1 < x < +1$$
میخواهیم تابع وارون را بدست بیاوریم :
$$y=\dfrac{x}{1-x^2}\\y(1-x^2)=x\\-yx^2-x+y=0\\x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4y^2}}{2y}\\f^{-1}(x)=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4x^2}}{2x}$$
تعریف $(1)$ بیاد بیاوردید . دامنه $f$ برابر بود با $(-1,+1)$ . و این یعنی برد تابع
$f^{-1}$ در محدوده ی $(-1,+1)$ قرار دارد یعنی :
$$-1 < f^{-1}(x)=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4x^2}}{2x} < +1$$
اما $f^{-1}(x)=\dfrac{-1-\sqrt{1+4x^2}}{2x}$ در محدوده ی $(-1,+1)$
قرار ندارد در نتیجه جواب خواهد بود :
$$\bbox[5px, border:1px solid teal]{-1 < f^{-1}(x)=\dfrac{-1+\sqrt{1+4x^2}}{2x}< +1}$$