به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
106 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط erfanm
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

یک موتور سوار در یک مسابقه مسیری به طول شش کیلومتر را در $6$ دقیقه طی می‌کند. ثابت کنید که او در قسمتی از مسیر ، دقیقا در $1$ دقیقه $1$ کیلومتر را طی کرده است؟

دارای دیدگاه توسط wahedmohammadi
@erfanm
ببخشید منظور از واژه دقیقا چی هستش؟
دارای دیدگاه توسط wahedmohammadi
@erfanm
ببخشید منظور از واژه دقیقا چی هستش؟
آیا منظورتون یکتایی هست؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
منظور این است که در مدت زمان 1 دقیقه
1 کیلومتر را طی کند نه بیشتر نه کمتر

منظور یکتایی نیست

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

پرسش کار خاصی به موتورسوار ندارد و تنها مطلبی که از آن استفاده می‌کند ذهنیت ما از اینکه تابع مسافت تجمعی پیموده شده بوسیلهٔ یک موتور در ذهن ما یک تابع پیوسته و بدون جهش و رفتارهای ناپیوسته است.

فرض کنید $f(t)$ یک تابع پیوسته از $[0,6]$ به $[0,6]$ باشد که نشان دهندهٔ میزان مسافت پیموده شده بوسیلهٔ موتورسوارمان است و می‌دانیم که $f(0)=0$ و $f(6)=6$ و $\forall t<t'\;:\;f(t)\leq f(t')$. اکنون تابع جدید زیر را تعریف کنید: $$\forall t\in[0,5]\;:\;g(t)=f(t+1)-f(t)$$ روشن است که از پیوسته بودن $f(t)$، $g(t)$ نیز پیوسته می‌شود. نکتهٔ مورد نظر پرسش‌کننده استفاده از قضیهٔ مقدار میانی بوده‌است. بازه‌های $[i,i+1]$ برای $0\leq i\leq 5$ را در نظر بگیرید، داریم؛ $$\begin{array}{ll}6 & =6-0=f(6)-f(0)\\ & =\left(f(6)-f(5)\right)+\left(f(5)-f(4)\right)+\cdots+\left(f(1)-f(0)\right)\\ & =g(5)+g(4)+\cdots+g(0) \end{array}$$ اگر یکی از این شش مقدار کمتر از یک و یکی از آنها بیشتر از یک باشد آنگاه قضیهٔ مقدار میانی را به کار ببرید که نتیجه می‌دهد برای عددی بین این دو عدد تابع g دقیقاً یک می‌شود و پرسش حل می‌شود. در غیر اینصورت اگر تمامی شش مقدار g که در جمع بالا آمده است اکیداً از یک کمتر باشند جمعشان اکیداً از ۶ کمتر خواهد شد و تناقض داریم. در حالتی هم که هر شش مقدار بیشتر اکید از یک شوند، جمعشان بیشتر اکید از ۶ می‌شود و دوباره تناقض داریم. پس حتما یا یکی از این شش مقدار یک است یا یکی بیشتر از یک و یکی کمتر از یک می‌توانیم داشته باشیم.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...