به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
81 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط komarsolimani
ویرایش شده توسط fardina

ثابت کنید $a_n$ در اعداد حقیقی دارای حد $L$ است اگر و تنها اگر $$\limsup a_n=\liminf a_n=L$$

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

منظور از $\limsup$ دنباله ی $a_n$ عضو ماکسیمم(یا سوپریمم) مجموعه ی حدود زیر دنباله های این دنباله است. و بطور مشابه منظور از $\liminf a_n$ مینیمم(یا اینفیمم) چنین مجموعه ای می باشد.

اگر $\lim_{n\to \infty} a_n=L$ در اینصورت تمام زیر دناله های آن هم به $L$ همگرا هستند لذا مجموعه ی حدود زیر دنباله ای این دنباله مجموعه ی تک عضوی $\{L\}$ خواهد بود لذا $\limsup a_n=\liminf a_n=L$.

برعکس اگر $\limsup a_n=\liminf a_n=L$ در اینصورت چون عضو ماکزیمم مجموعه ی حدود زیر دنباله ای با عضو مینیمم این مجموعه برابر شده است پس مجموعه ی حدود زیر دنباله ای تک عضوی $\{L\}$ است. که این هم یعنی حد تمام زیر دنباله ها برابر $L$ است که نتیجه می دهد خود دنباله هم به $L$ همگراست.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...