به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
110 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط komarsolimani
ویرایش شده توسط fardina

اثبات که در کتاب اصول انالیز ریاضی رودین بعنوان مثال آورده شده

$$\limsup(-a_n)=-\liminf a_n$$
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
لطفا از این به بعد سوالاتتون رو تایپ کنید. میتونید راهنمای تایپ رو بخونید. همینطور تلاشتون برای حل رو بنویسید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر $\limsup (-a_n)=\infty$ در اینصورت $(-a_n)$ از بالا کراندار نیست و لذا $a_n$ از پایین کراندار نیست که این هم ایجاب می کند $\liminf a_n=-\infty$ بنابراین $\limsup(-a_n)=-\liminf a_n$.

به طور مشابه اگر $\limsup(-a_n)=-\infty$ می توانید برابری را ثابت کنید.

فرض کنیم دنباله کراندار باشد. در اینصورت می توانید ثابت کنید

$\alpha=\limsup a_n$ اگر و تنها اگر

  1. به ازای هر $\epsilon>0$ بی نهایت اندیس مانند $n$ موجود باشد که $\alpha-\epsilon< a_n$
  2. به ازای هر $\epsilon>0$ تعداد متناهی اندیس مانند $n$ موجود باشد که $\alpha+\epsilon< a_n$

و به طور مشابه

$\beta=\liminf a_n$ اگر و تنها اگر

  1. به ازای هر $\epsilon>0$ بی نهایت اندیس مانند $n$ موجود باشد که $a_n< \beta+\epsilon$
  2. به ازای هر $\epsilon>0$ تعداد متناهی اندیس مانند $n$ موجود باشد که $a_n< \beta-\epsilon$

حال چنانچه قرار دهید $\alpha=\limsup (-a_n)$ در اینصورت بازای هر $\epsilon$

  1. بی نهایت اندیس هست که $(-a_n)>\alpha-\epsilon$ یعنی $a_n< -\alpha+\epsilon$

  2. تعداد متنهای اندیس هست که $-a_n> \alpha+\epsilon$ یعنی $a_n< -\alpha-\epsilon$

بنابر یادآوری فوق این یعنی $\liminf a_n=-\alpha$ و حکم ثابت است.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...